圆周率π有没有可能根本不是无理数？( 二 ) _经验知识

当 x 是有理数时。tan x 一定是无理数。
最后。上面命题的逆反命题是：
当 tan x 是有理数时。x 一定是无理数。
而。我们知道 tan π/4 = 1 是有理数。故。π/4 一定是无理数。从而 π = π/4 ? 4 。是无理数和非零有理数之积。是无理数！
以上是基于初等数学的证明。比较繁琐。美国数学家伊万·尼云。在 1974年。给出了一个非常优美的证明。
这里。我们先引入一个多项式函数。
根据。牛顿二项式定理：

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有：

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等式两边同乘以 x?/n!。有：

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令。t = i + n 。再令 i = t 。依次代数上式。有：

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令。

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让 n ≥ 1 。我们得到函数：

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函数 f(x) 是多项式。并且有如下特点：
由于。c? 是组合数（或负组合数）所以 c? 一定是整数；
当 0 < x < 1 时。0 < 1 - x < 1 。0 < x?(1 - x)? < 1 。于是 0 < f(x) < 1/n!；
对于所有 k ≥ 0 , f???(x) 在 x = 0 或 1 时。都是整数。证明如下：
当 0 ≤ k < n 时。

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故 f???(0) = 0 是整数；当 n ≤ k ≤ 2n 时。

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故 f???(0) = c_k?k!/ n! = c_k?k???(k-n) 是整数；当 k > 2n 时。

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故 f???(0) = 0 是整数。
由于。

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所以。

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故 f???(1) = (-1)?f???(0) 也是整数。
然后。我们正式 π 是无理数。因为如果 π 是有理数。则 π2 有理数乘以有理数还是有理数。于是只要证明 π2 是无理数。可以了。这里使用反证法。
假设 π2 是有理数。则 π2 = a/b, 其中 a, b 均为正整数。利用 f(x) 偶数阶导数。定义另外一个多项式：

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则：

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于是。得到：

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接下来是关键。考虑：

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等式两边除以 π 。有：

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等式两边。同时对区间 [0, 1] 定积分。令该定积分为 S 。有。

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根据 f(x) 的性质 3 。我们知道 F(1) 和 F(0) 都是整数。故 S 为整数。
另一方面。由于 a, f(x) > 0。而在区间 (0, 1) 内 sin πx > 0 。所以 πa?f(x)sin πx 在区间 (0, 1) 是正的。故积分 S > 0 。
再根据。f(x) 的性质 2 。有。

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由于。n! 是比 2a? 增长更快的函数。

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所以。总算是存在足够大的 n。使得 2a? < n! 。这时：

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由于。0 和 1 之间不存在整数。所以 S 不可能是整数。这与上面得到 S 是整数的结论矛盾。假设不成了。于是 π2 是无理数。
当然。证明π是无理数。还有很多方法。以上只是最流行的两种。
（感谢大家阅读！小石头数学水平有限。出错在所难免。欢迎广大条友批评指正！）
其他观点：
没有任何可能性！原因很简单。数学家们早就证明了π确实是无理数。证明过程并不太复杂。这里不再详述。有兴趣的简单搜索就能找到答案！
所以。既然已经证明了π是无理数。它就是无理数。不可能是有理数！不过很多人对π是无理数感到有些不解。