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python狄拉克函数 狄拉克函数的laplace变换

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狄拉克δ函数【python狄拉克函数 狄拉克函数的laplace变换】8.1.1Δ 函数的定义
我们知道，一般函数的定义是对于自变量x的每一个值，都有特定函数值f（x）与之对应 ， f（x）称为在点x处的函数值 。然而，这里我们要讨论的δ函数不是这种通常意义下的函数 ， 因为它没有通常意义下的“函数值”；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种复杂极限过程的简化符号，是广义函数的一种 。
所谓狄拉克δ函数是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函数f（x），有下式成立：
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为理解δ（x） ， 对h＞0引进如下函数序列
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由积分中值定理可知，存在ξ且｜ξ｜＜
，使得有
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于是得到：
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由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明 ， δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限 。因为
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故可将δ（x）粗糙地理解为满足
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及
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的一个较通常函数意义更广的“函数”，（8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的 。
物理上常用δ函数来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点，用δ（x）表示密度分布函数，则在x≠0时，δ（x）=0 。如果取δ（x）=C为有限常数，δ（x）便是一个通常意义下的分段连续函数，按照一般的积分计算有
δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾 。故不能取δ（0）等于有限常数 。事实上 ， 若在x轴上取Δl为包含原点的区间段，ΔM为该段总的质量，则密度应为：
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由此可见，这里引入δ函数恰好描述了集中质量问题 。在电法勘探问题中，δ函数就恰好描述点源的电荷（或电流）密度 。
上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函数，对n维且奇点在任意点（
、
，…，
）的δ函数可类似地定义 ， 即它是这样一个算符δ（x1-
）δ（x2-
）…δ（xn-
） ， 使得对任何在点（
 ， 
，…，
）连续的函数f（x1，x2，…，xn），有
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成立，特别当取n=1，x1=x，
=0时，则得到（8.1.1）式 。实际上n维δ函数可写成n个一维δ函数的乘积的形式 。同样它还应满足：
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及
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本书中只涉及二维或三维的δ函数 。
对于一个有限的研究域，关于δ函数，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：
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式中D为一个二维区域 ， f（x1，x2）在（
，
）处连续 ， 在第二个等式中，要求D的边界Γ在奇点（
，
）附近是光滑的，特殊情况，当f=1时，可得：
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现在给出（8.1.7）式的一个直观证明，当x0=（
 ， 
）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其边界上恒为零，这时（8.1.7）式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零，当x0在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故
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图8.1 D∩B的二维几何表示
从而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界Γ的情况，令B（x0 ， ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间，三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和边界上为零，知

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