勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式 。当方程满足 |x|1 时，可得到有界解（即解级数收敛） 。并且当n为非负整数，即n= 0, 1, 2,... 时，在x= ± 1 点亦有有界解 。这种情况下 ， 随n值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials） 。
勒让德多项式Pn(x)是n阶多项式，可用罗德里格公式表示为：
正交性
勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 ?1 ≤x≤ 1 关于L内积满足正交性，即：1
其中 δmn为克罗内克δ记号，当m=n时为1，否则为0 。事实上 ， 推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x, ...}进行格拉姆-施密特正交化 。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：
其中本征值 λ 对应于原方程中的n(n+1) 。
其他性质奇偶性
当阶数k为偶数时，为偶函数；当阶数k为奇数时，为奇函数 ， 即：2
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
另外，考虑微分后还有以下递推关系：
其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用 。
移位多项式
移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上 ， 即：
其显式表达式为：
相应的罗德里格公式为：
分数阶多项式
分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分（定义参见分数微积分理论）和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义 。
极限关系
大Q勒让德多项式→勒让德多项式
令大q雅可比多项式中的c=0，即勒让德多项式
令连续q勒让德多项式q-1得勒让德多项式
小q勒让德多项式→勒让德多项式
本词条内容贡献者为:
王伟 - 副教授 - 上海交通大学
责任编辑：科普云
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