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python误差函数 python求均方误差

函数IT技术

Python--math库Python math 库提供许多对浮点数的数学运算函数，math模块不支持复数运算，若需计算复数 ， 可使用cmath模块（本文不赘述） 。
使用dir函数 ， 查看math库中包含的所有内容：
1） math.pi# 圆周率π
2） math.e#自然对数底数
3） math.inf#正无穷大∞，-math.inf#负无穷大-∞
4） math.nan#非浮点数标记，NaN（not a number）
1） math.fabs(x)#表示X值的绝对值
2） math.fmod(x,y)#表示x/y的余数，结果为浮点数
3） math.fsum([x,y,z])#对括号内每个元素求和，其值为浮点数
4） math.ceil(x)#向上取整，返回不小于x的最小整数
5）math.floor(x)#向下取整，返回不大于x的最大整数
6） math.factorial(x)#表示X的阶乘，其中X值必须为整型，否则报错
7） math.gcd(a,b)#表示a,b的最大公约数
8）math.frexp(x)#x = i *2^j ， 返回（i，j）
9） math.ldexp(x,i)#返回x*2^i的运算值，为math.frexp(x)函数的反运算
10） math.modf(x)#表示x的小数和整数部分
11） math.trunc(x)#表示x值的整数部分
12） math.copysign(x,y)#表示用数值y的正负号，替换x值的正负号
13） math.isclose(a,b,rel_tol =x,abs_tol = y)#表示a，b的相似性，真值返回True，否则False；rel_tol是相对公差：表示a ， b之间允许的最大差值，abs_tol是最小绝对公差，对比较接近于0有用 ， abs_tol必须至少为0 。
14） math.isfinite(x)#表示当x不为无穷大时，返回True，否则返回False
15） math.isinf(x)#当x为±∞时 ， 返回True，否则返回False
16） math.isnan(x)#当x是NaN，返回True，否则返回False
1） math.pow(x,y)#表示x的y次幂
2） math.exp(x)#表示e的x次幂
3） math.expm1(x)#表示e的x次幂减1
4） math.sqrt(x)#表示x的平方根
5） math.log（x,base）#表示x的对数值，仅输入x值时，表示ln(x)函数
6） math.log1p(x)#表示1 x的自然对数值
7） math.log2(x)#表示以2为底的x对数值
8） math.log10(x)#表示以10为底的x的对数值
1） math.degrees(x)#表示弧度值转角度值
2） math.radians(x)#表示角度值转弧度值
3） math.hypot(x,y)#表示(x,y)坐标到原点(0,0)的距离
4） math.sin(x)#表示x的正弦函数值
5） math.cos(x)#表示x的余弦函数值
6） math.tan(x)#表示x的正切函数值
7）math.asin(x)#表示x的反正弦函数值
8） math.acos(x)#表示x的反余弦函数值
9） math.atan(x)#表示x的反正切函数值
10） math.atan2(y,x)#表示y/x的反正切函数值
11） math.sinh(x)#表示x的双曲正弦函数值
12） math.cosh(x)#表示x的双曲余弦函数值
13） math.tanh(x)#表示x的双曲正切函数值
14） math.asinh(x)#表示x的反双曲正弦函数值
15） math.acosh(x)#表示x的反双曲余弦函数值
16） math.atanh(x)#表示x的反双曲正切函数值
1）math.erf(x)#高斯误差函数
2） math.erfc(x)#余补高斯误差函数
3） math.gamma(x)#伽马函数（欧拉第二积分函数）
4） math.lgamma(x)#伽马函数的自然对数
多项式拟合平方误差怎么求线性模型（二）之多项式拟合
1. 多项式拟合问题
??多项式拟合（polynominal curve fitting）是一种线性模型，模型和拟合参数的关系是线性的 。多项式拟合的输入是一维的，即x=xx=x，这是多项式拟合和线性回归问题的主要区别之一 。
??多项式拟合的目标是构造输入xx的MM阶多项式函数，使得该多项式能够近似表示输入xx和输出yy的关系，虽然实际上xx和yy的关系并不一定是多项式，但使用足够多的阶数，总是可以逼近表示输入xx和输出yy的关系的 。
??多项式拟合问题的输入可以表示如下：
D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xi,yi),...,(xN,yN)}xi∈Ryi∈R
D={(x1,y1),(x2,y2),...,(xi,yi),...,(xN,yN)}xi∈Ryi∈R
??目标输出是得到一个多项式函数：
f(x)=w1x1 w2x2 wixi ... wMxM b=(∑i=1Mwixi) b
f(x)=w1x1 w2x2 wixi ... wMxM b=(∑i=1Mwixi) b
其中MM表示最高阶数为MM 。
??可见在线性拟合的模型中，共包括了(M 1)(M 1)个参数，而该模型虽然不是输入xx的线性函数，但却是(M 1)(M 1)个拟合参数的线性函数 ， 所以称多项式拟合为线性模型 。对于多项式拟合问题，其实就是要确定这(M 1)(M 1)个参数，这里先假设阶数MM是固定的（MM是一个超参数，可以用验证集来确定MM最优的值，详细的关于MM值确定的问题，后面再讨论），重点就在于如何求出这(M 1)(M 1)个参数的值 。
2.优化目标
??多项式拟合是利用多项式函数逼近输入xx和输出yy的函数关系 ， 通过什么指标来衡量某个多项式函数的逼近程度呢？（其实这就是误差/损失函数） 。拟合/回归问题常用的评价指标是均方误差（在机器学习中的模型评估与度量博客中，我进行了介绍） 。多项式拟合问题也同样采用该评价指标，以均方误差作为误差/损失函数，误差函数越?。?模型越好 。
E(w,b)=1N∑i=1N[f(xi)?yi]2
E(w,b)=1N∑i=1N[f(xi)?yi]2
??系数1N1N是一常数，对优化结果无影响，可以去除，即将均方误差替换为平方误差：
E(w,b)=∑i=1N[f(xi)?yi]2
E(w,b)=∑i=1N[f(xi)?yi]2
?? 到这里，就成功把多项式拟合问题变成了最优化问题，优化问题可表示为：
argminw,bE(w,b)
arg?minw,b?E(w,b)
即需要求得参数{w1,...,wM,b}{w1,...,wM,b}的值，使得E(w,b)E(w,b)最小化 。那么如何对该最优化问题求解呢？
【python误差函数 python求均方误差】3. 优化问题求解
3.1 求偏导，联立方程求解
?? 直观的想法是，直接对所有参数求偏导 ， 令偏导为0，再联立这M 1M 1个方程求解（因为共有M 1M 1个参数，故求偏导后也是得到M 1M 1个方程） 。
E(w,b)=∑i=1N[f(xi)?yi]2=∑i=1N[(w1x1i w2x2i wixji ... wMxMi b)?yi]2
E(w,b)=∑i=1N[f(xi)?yi]2=∑i=1N[(w1xi1 w2xi2 wixij ... wMxiM b)?yi]2
利用E(w,b)E(w,b)对各个参数求偏导，如下：
?E(w,b)?wj?E(w,b)?b=2∑i=1N[(w1x1i w2x2i wixji ... wMxMi b)?yi]xji=2∑i=1N[(w1x1i w2x2i wixji ... wMxMi b)?yi]
?E(w,b)?wj=2∑i=1N[(w1xi1 w2xi2 wixij ... wMxiM b)?yi]xij?E(w,b)?b=2∑i=1N[(w1xi1 w2xi2 wixij ... wMxiM b)?yi]
求导之后，将各个点(xi,yi)(xi,yi)的值带入偏导公式，联立方程求解即可 。
??针对该解法，可以举个例子详细说明 ， 比如有两个点(2,3),(5,8)(2,3),(5,8),需要利用二阶多项式f(x)=w1x w2x2 bf(x)=w1x w2x2 b拟合 。求解过程如下：
该二阶多项式对参数求偏导得到
?E(w,b)?wj?E(w,b)?b=2∑i=12[(w1x1i w2x2i b)?yi]xji=[(w1x1 w2x21 b)?y1]xj1 [(w1x2 w2x22 b)?y2]xj2=2∑i=12[(w1x1i w2x2i b)?yi]=[(w1x1 w2x21 b)?y1] [(w1x2 w2x22 b)?y2]
?E(w,b)?wj=2∑i=12[(w1xi1 w2xi2 b)?yi]xij=[(w1x1 w2x12 b)?y1]x1j [(w1x2 w2x22 b)?y2]x2j?E(w,b)?b=2∑i=12[(w1xi1 w2xi2 b)?yi]=[(w1x1 w2x12 b)?y1] [(w1x2 w2x22 b)?y2]
将点(2,3),(5,8)(2,3),(5,8)带入方程，可以得到3个方程，
2b 7w1 29w2=117b 29w1 133w2=4629b 133w1 641w2=212
2b 7w1 29w2=117b 29w1 133w2=4629b 133w1 641w2=212
联立这三个方程求解，发现有无穷多的解，只能得到3w1 21w2=53w1 21w2=5，这三个方程是线性相关的，故没有唯一解 。
??该方法通过求偏导，再联立方程求解，比较复杂，看着也很不美观 。那么有没有更加方便的方法呢？
3.2 最小二乘法
?? 其实求解该最优化问题（平方和的最小值）一般会采用最小二乘法（其实最小二乘法和求偏导再联立方程求解的方法无本质区别，求偏导也是最小二乘法，只是这里介绍最小二乘的矩阵形式而已） 。最小二乘法（least squares），从英文名非常容易想到 ， 该方法就是求解平方和的最小值的方法 。
??可以将误差函数以矩阵的表示(NN个点，最高MM阶)为：
∥Xw?y∥2
‖Xw?y‖2
其中，把偏置bb融合到了参数ww中，
w={b,w1,w2,...,wM}
w={b,w1,w2,...,wM}
XX则表示输入矩阵，
??????11...1x1x2...xNx21x22...x2N............xM1xM2...xMN??????
[1x1x12...x1M1x2x22...x2M...............1xNxN2...xNM]
yy则表示标注向量，
y={y1,y2,...,yN}T
y={y1,y2,...,yN}T
因此 ， 最优化问题可以重新表示为
minw∥Xw?y∥2
minw‖Xw?y‖2
对其求导 ，
?∥Xw?y∥2?w=?(Xw?y)T(Xw?y)?w=?(wTXT?yT)(Xw?y)?w=?(wTXTXw?yTXw?wTXTy yTy)?w
?‖Xw?y‖2?w=?(Xw?y)T(Xw?y)?w=?(wTXT?yT)(Xw?y)?w=?(wTXTXw?yTXw?wTXTy yTy)?w
在继续对其求导之前，需要先补充一些矩阵求导的先验知识（常见的一些矩阵求导公式可以参见转载的博客） ， 如下：
?xTa?x=a?ax?x=aT?xTA?x=Ax ATx
?xTa?x=a?ax?x=aT?xTA?x=Ax ATx
根据上面的矩阵求导规则，继续进行损失函数的求导
?∥Xw?y∥2?w=?(wTXTXw?yTXw?wTXTy yTy)?w=XTXw (XTX)Tw?(yTX)T?XTy=2XTXw?2XTy
?‖Xw?y‖2?w=?(wTXTXw?yTXw?wTXTy yTy)?w=XTXw (XTX)Tw?(yTX)T?XTy=2XTXw?2XTy
其中XTXw=(XTX)TwXTXw=(XTX)Tw.令求导结果等于0，即可以求导问题的最小值 。
2XTXw?2XTy=0w=(XTX)?1XTy
2XTXw?2XTy=0w=(XTX)?1XTy
??再利用最小二乘法的矩阵形式对前面的例子进行求解，用二阶多项式拟合即两个点(2,3),(5,8)(2,3),(5,8) 。
表示输入矩阵 XX和标签向量yy
X=[1125425]y=[38]T
X=[1241525]y=[38]T
计算XTXXTX
XTX=???272972913329133641???
XTX=[272972913329133641]
矩阵求逆，再做矩阵乘法运算
但 XTXXTX不可逆，故无唯一解 。
??关于矩阵的逆是否存在，可以通过判断矩阵的行列式是否为0（det(A)=?0det(A)=?0 来判断，也可以通过初等行变换 ， 观察矩阵的行向量是否线性相关，在这个例子下 ， 矩阵不可逆 ， 故有无穷多解 。但如果新增一个点(4,7)(4,7)，则就可以解了 。
??其实这和数据集的点数和选择的阶数有关，如果点数小于阶数则会出现无穷解的情况，如果点数等于阶数，那么刚好有解可以完全拟合所有数据点，如果点数大于阶数，则会求的近似解 。
??那么对于点数小于阶数的情况，如何求解？在python的多项式拟合函数中是可以拟合的，而且效果不错，具体算法不是很了解 ， 可以想办法参考python的ployfit()函数的实现 。
4. 拟合阶数的选择
?? 在前面的推导中 ， 多项式的阶数被固定了，那么实际场景下应该如何选择合适的阶数MM呢？
一般会选择阶数MM小于点数NN
把训练数据分为训练集合验证集，在训练集上，同时用不同的MM值训练多个模型，然后选择在验证集误差最小的阶数script type="math/tex" id="MathJax-Element-5573"M/script
从零开始用Python构建神经网络从零开始用Python构建神经网络
动机：为了更加深入的理解深度学习，我们将使用 python 语言从头搭建一个神经网络，而不是使用像 Tensorflow 那样的封装好的框架 。我认为理解神经网络的内部工作原理，对数据科学家来说至关重要 。
这篇文章的内容是我的所学，希望也能对你有所帮助 。
神经网络是什么?
介绍神经网络的文章大多数都会将它和大脑进行类比 。如果你没有深入研究过大脑与神经网络的类比，那么将神经网络解释为一种将给定输入映射为期望输出的数学关系会更容易理解 。
神经网络包括以下组成部分
? 一个输入层，x
? 任意数量的隐藏层
? 一个输出层 ， ?
? 每层之间有一组权值和偏置，W and b
? 为隐藏层选择一种激活函数，σ 。在教程中我们使用 Sigmoid 激活函数
下图展示了 2 层神经网络的结构(注意：我们在计算网络层数时通常排除输入层)
2 层神经网络的结构
用 Python 可以很容易的构建神经网络类
训练神经网络
这个网络的输出 ? 为：
你可能会注意到，在上面的等式中，输出 ? 是 W 和 b 函数 。
因此 W 和 b 的值影响预测的准确率. 所以根据输入数据对 W 和 b 调优的过程就被成为训练神经网络 。
每步训练迭代包含以下两个部分:
? 计算预测结果 ?，这一步称为前向传播
? 更新 W 和 b,，这一步成为反向传播
下面的顺序图展示了这个过程：
前向传播
正如我们在上图中看到的，前向传播只是简单的计算 。对于一个基本的 2 层网络来说 ， 它的输出是这样的：
我们在 NeuralNetwork 类中增加一个计算前向传播的函数 。为了简单起见我们假设偏置 b 为0：
但是我们还需要一个方法来评估预测结果的好坏(即预测值和真实值的误差) 。这就要用到损失函数 。
损失函数
常用的损失函数有很多种，根据模型的需求来选择 。在本教程中，我们使用误差平方和作为损失函数 。
误差平方和是求每个预测值和真实值之间的误差再求和，这个误差是他们的差值求平方以便我们观察误差的绝对值 。
训练的目标是找到一组 W 和 b，使得损失函数最好小，也即预测值和真实值之间的距离最小 。
反向传播
我们已经度量出了预测的误差(损失) ， 现在需要找到一种方法来传播误差，并以此更新权值和偏置 。
为了知道如何适当的调整权值和偏置，我们需要知道损失函数对权值 W 和偏置 b 的导数 。
回想微积分中的概念，函数的导数就是函数的斜率 。
梯度下降法
如果我们已经求出了导数，我们就可以通过增加或减少导数值来更新权值 W 和偏置 b(参考上图) 。这种方式被称为梯度下降法 。
但是我们不能直接计算损失函数对权值和偏置的导数，因为在损失函数的等式中并没有显式的包含他们 。因此，我们需要运用链式求导发在来帮助计算导数 。
链式法则用于计算损失函数对 W 和 b 的导数 。注意，为了简单起见 。我们只展示了假设网络只有 1 层的偏导数 。
这虽然很简陋，但是我们依然能得到想要的结果—损失函数对权值 W 的导数(斜率)，因此我们可以相应的调整权值 。
现在我们将反向传播算法的函数添加到 Python 代码中
为了更深入的理解微积分原理和反向传播中的链式求导法则，我强烈推荐 3Blue1Brown 的如下教程：
Youtube：
整合并完成一个实例
既然我们已经有了包括前向传播和反向传播的完整 Python 代码，那么就将其应用到一个例子上看看它是如何工作的吧 。
神经网络可以通过学习得到函数的权重 。而我们仅靠观察是不太可能得到函数的权重的 。
让我们训练神经网络进行 1500 次迭代，看看会发生什么 。注意观察下面每次迭代的损失函数，我们可以清楚地看到损失函数单调递减到最小值 。这与我们之前介绍的梯度下降法一致 。
让我们看看经过 1500 次迭代后的神经网络的最终预测结果：
经过 1500 次迭代训练后的预测结果
我们成功了!我们应用前向和方向传播算法成功的训练了神经网络并且预测结果收敛于真实值 。
注意预测值和真实值之间存在细微的误差是允许的 。这样可以防止模型过拟合并且使得神经网络对于未知数据有着更强的泛化能力 。
下一步是什么?
幸运的是我们的学习之旅还没有结束，仍然有很多关于神经网络和深度学习的内容需要学习 。例如：
? 除了 Sigmoid 以外，还可以用哪些激活函数
? 在训练网络的时候应用学习率
? 在面对图像分类任务的时候使用卷积神经网络
我很快会写更多关于这个主题的内容，敬请期待!
最后的想法
我自己也从零开始写了很多神经网络的代码
虽然可以使用诸如 Tensorflow 和 Keras 这样的深度学习框架方便的搭建深层网络而不需要完全理解其内部工作原理 。但是我觉得对于有追求的数据科学家来说，理解内部原理是非常有益的 。
这种练习对我自己来说已成成为重要的时间投入，希望也能对你有所帮助
Python科学计算——任意波形拟合任意波形的生成(geneartion of arbitrary waveform) 在商业，军事等领域都有着重要的应用，诸如空间光通信 (free-space optics communication) ， 高速信号处理 (high-speed signal processing)，雷达 (radar) 等 。在任意波形生成后， 如何评估生成的任意波形 成为另外一个重要的话题 。
假设有一组实验数据 ， 已知python误差函数他们之间的函数关系python误差函数：y=f(x)，通过这些信息，需要确定函数中的一些参数项 。例如，f 是一个线型函数 f(x)=k*x b，那么参数 k 和 b 就是需要确定的值 。如果这些参数用 p 表示的话，那么就需要找到一组 p 值使得如下公式中的 S 函数最小python误差函数：
这种算法被称之为 最小二乘拟合(least-square fitting) 。scipy 中的子函数库 optimize 已经提供实现最小二乘拟合算法的函数leastsq。下面是 leastsq 函数导入的方式：
scipy.optimize.leastsq 使用方法
在Python科学计算——Numpy.genfromtxt一文中，使用numpy.genfromtxt对数字示波器采集的三角波数据导入进行python误差函数了介绍，今天，就以4GHz三角波波形的拟合为案例介绍任意波形的拟合方法 。
在Python科学计算——如何构建模型？一文中 ， 讨论了如何构建三角波模型 。在标准三角波波形的基础上添加了 横向，纵向的平移和伸缩特征参数 ，最后添加了 噪声参数 模拟了三角波幅度参差不齐的随机性特征 。但在波形拟合时，并不是所有的特征参数都要纳入考量，例如 ， 噪声参数应是 波形生成系统 的固有特征，正因为它的存在使得产生的波形存在瑕疵，因此，在进行波形拟合并评估时，不应将噪声参数纳入考量，最终模型如下：
在调用 scipy.optimize.leastsq 函数时 ， 需要构建误差函数：
有时候，为了使图片有更好的效果 ， 需要对数据进行一些处理：
leastsq 调用方式如下：
合理的设置 p0 可以减少程序运行时间，因此，可以在运行一次程序后，用拟合后的相应数据对 p0 进行修正 。
在对波形进行拟合后，调用 pylab 对拟合前后的数据进行可视化：
均方根误差(root mean square error) 是一个很好的评判标准 ， 它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根 ， 在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替.方根误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以 ， 均方根误差能够很好地反映出测量的精密度 。
RMSE 用程序实现如下：
拟合效果 ， 模型参数输出：
leastsq 函数适用于任何波形的拟合，下面就来介绍一些常用的其他波形：
python能做什么科学计算python做科学计算的特点：1. 科学库很全 。（推荐学习：Python视频教程）
科学库：numpy，scipy 。作图：matplotpb 。并行：mpi4py 。调试：pdb 。
2. 效率高 。
如果你能学好numpy（array特性 ， f2py），那么你代码执行效率不会比fortran ， C差太多 。但如果你用不好array，那样写出来的程序效率就只能呵呵了 。所以入门后 ， 请一定花足够多的时间去了解numpy的array类 。
3. 易于调试 。
pdb是我见过最好的调试工具，没有之一 。直接在程序断点处给你一个截面，这只有文本解释语言才能办到 。毫不夸张的说，你用python开发程序只要fortran的1/10时间 。
4. 其他 。
它丰富而且统一，不像C的库那么杂（好比pnux的各种发行版），python学好numpy就可以做科学计算了 。python的第三方库很全 ， 但是不杂 。python基于类的语言特性让它比起fortran等更加容易规模化开发 。
数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法 。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明 。
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法，其中包括著名的欧拉法，用于数值求解微分方程 。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂 。
高斯积分是在概率论和连续傅里叶变换等的统一化等计算中有广泛的应用 。在误差函数的定义中它也出现 。虽然误差函数没有初等函数 ， 但是高斯积分可以通过微积分学的手段解析求解 。高斯积分（Gaussian integral） ， 有时也被称为概率积分，是高斯函数的积分 。它是依德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏所命名 。
洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表，最初是发表在《大气科学杂志》（Journal of the Atmospheric Sciences）杂志的论文《Deterministic Nonperiodic Flow》中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的 。
这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义 。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的 ， 但却容易发生突变，看起来似乎是随机变化的，而模型对此现象有明确的表述 。
更多Python相关技术文章，请访问Python教程栏目进行学习！以上就是小编分享的关于python能做什么科学计算的详细内容希望对大家有所帮助 ， 更多有关python教程请关注环球青藤其它相关文章！
python误差函数的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容 ， 更多关于python求均方误差、python误差函数的信息别忘了在本站进行查找喔 。

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