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动态规划|《动态规划》— 动态规划分类

动态规划ACM

动态规划（英语：Dynamic programming，DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。
动态规划背后的基本思想非常简单。大致上，若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再合并子问题的解以得出原问题的解。 通常许多子问题非常相似，为此动态规划法试图仅仅解决每个子问题一次，从而减少计算量： 一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时直接查表。 这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。
动态规划问题满足三大重要性质
最优子结构性质：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
子问题重叠性质：子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。
无后效性：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。
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动态规划分类有很多划分方法，网上有很多是按照状态来分，分为一维、二维、区间、树形等等。我觉得还是按功能即解决的问题的类型以及难易程度来分比较好，下面按照我自己的理解和归纳，把动态规划的分类如下：
一、简单基础dp
这类dp主要是一些状态比较容易表示，转移方程比较好想，问题比较基本常见的。主要包括递推、背包、LIS（最长递增序列），LCS（最长公共子序列），下面针对这几种类型，推荐一下比较好的学习资料和题目。
1、递推：
递推一般形式比较单一，从前往后，分类枚举就行。
简单:
hdu 2084 数塔 简单从上往下递推
hdu 2018 母牛的故事 简单递推计数
hdu 2044 一只小蜜蜂... 简单递推计数（Fibonacci）
hdu 2041 超级楼梯 Fibonacci
hdu 2050 折线分割平面 找递推公式
推荐：
CF 429B B.Working out 四个角递推
【动态规划|《动态规划》— 动态规划分类】zoj 3747 Attack on Titans 带限制条件的计数递推dp
uva 10328 Coin Toss 同上题
hdu 4747 Mex
hdu 4489 The King's Ups and Downs
hdu 4054 Number String
2、背包
经典的背包九讲：http://love-oriented.com/pack/
推荐博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7636866
主要有0-1背包、完全背包、分组背包、多重背包。
简单：
hdu 2955 Robberies 01背包
hdu 1864 最大报销额 01背包
hdu 2602 Bone Collector 01背包
hdu 2844 Coins 多重背包
hdu 2159 FATE 完全背包
推荐：
woj 1537 A Stone-I转化成背包
woj 1538 B Stone-II 转化成背包
poj 1170 Shopping Offers 状压+背包
zoj 3769 Diablo III 带限制条件的背包
zoj 3638 Fruit Ninja 背包的转化成组合数学
hdu 3092 Least common multiple 转化成完全背包问题
poj 1015 Jury Compromise 扩大区间+输出路径
poj 1112 Team Them UP 图论+背包
3、LIS
最长递增子序列，朴素的是o(n^2)算法，二分下可以写成o(nlgn)：维护一个当前最优的递增序列——找到恰好大于它更新
简单：
hdu 1003 Max Sum
hdu 1087 Super Jumping!
推荐：
uva 10635 Prince and Princess LCS转化成LIS
hdu 4352 XHXJ's LIS　数位dp+LIS思想
srm div2 1000状态压缩+LIS
poj 1239 Increasing Sequence 两次dp
4、LCS
最长公共子序列，通常o(n^2)的算法
hdu 1503 Advanced Fruits
hdu 1159 Common Subsequence
uva 111 History Grading 要先排个序
poj 1080 Human Gene Functions

二、区间dp
推荐博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7969225
区间dp,一般是枚举区间，把区间分成左右两部分，然后求出左右区间再合并。
poj 1141 Brackets Sequence 括号匹配并输出方案
hdu 4745 Two Rabbits 转化成求回文串
zoj 3541 The Last Puzzle贪心+区间dp
poj 2955 Brackets
hdu 4283 You Are the One常见写法
hdu 2476 String Printer
zoj 3537 Cake
CF 149D Coloring Brackets
zoj 3469 Food Delivery

三、树形dp
比较好的博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7644959
一篇论文：http://doc.baidu.com/view/f3b19d0b79563c1ec5da710e.html
树形dp是建立在树这种数据结构上的dp,一般状态比较好想，通过dfs维护从根到叶子或从叶子到根的状态转移。
hdu 4123 Bob's Race 二分+树形dp+单调队列
hdu 4514求树的直径
poj 1655 Balancing Act
hdu 4714 Tree2Cycle 思维
hdu 4616 Game
hdu 4126 Genghis Kehan the Conqueror MST+树形dp 比较经典
hdu 4756 Install Air Conditioning MST+树形dp 同上
hdu 3660 Alice and Bob's Trip 有点像对抗搜索
CF 337D Book of Evil树直径的思想 思维
hdu 2196 Computer 搜两遍

四、数位dp
推荐一篇论文：http://wenku.baidu.com/view/d2414ffe04a1b0717fd5dda8.html
数位dp,主要用来解决统计满足某类特殊关系或有某些特点的区间内的数的个数，它是按位来进行计数统计的，可以保存子状态，速度较快。数位dp做多了后，套路基本上都差不多，关键把要保存的状态给抽象出来，保存下来。
hdu 2089 不要62 简单数位dp
hdu 3709 Balanced Number 比较简单
CF 401D Roman and Numbers 状压+数位dp
hdu 4398 X mod f(x) 把模数加进状态里面
hdu 4734 F(x)简单数位dp
hdu 3693 Math teacher's homework 思维变换的数位dp
hdu 4352 XHXJ's LIS　数位dp+LIS思想
CF 55D Beautiful Numbers比较巧妙的数位dp
hdu 3565 Bi-peak Numbers 比较难想
CF 258B Little Elephant and Elections 数位dp+组合数学+逆元

五、概率(期望) dp
推荐博客：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/10/02/2710606.html
推荐博客：http://blog.csdn.net/woshi250hua/article/details/7912049
推荐论文：
《走进概率的世界》
《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》
《有关概率和期望问题的研究》
一般来说概率正着推，期望逆着推。有环的一般要用到高斯消元解方程。期望可以分解成多个子期望的加权和，权为子期望发生的概率，即 E(aA+bB+...) = aE(A) + bE(B) +...
ural 1776 Anniversiry Firework 比较基础
hdu 4418 Time travel比较经典BFS+概率dp+高斯消元
hdu 4586 Play the Dice 推公式比较水
hdu 4487 Maximum Random Walk
jobdu 1546 迷宫问题 高斯消元+概率dp+BFS预处理
hdu 3853 LOOPS 简单概率dp
hdu 4405 Aeroplane chess 简单概率dp,比较直接
hdu 4089 Activation 比较经典
poj 2096 Collecting Bugs 题目比较难读懂
zoj 3640 Help me Escape 从后往前，比较简单
hdu 4034 Maze 经典好题，借助树的概率dp
hdu 4336 Card Collector 状态压缩+概率dp
hdu 4326 Game这个题状态有点难抽象

六、状态压缩dp
这类问题有TSP、插头dp等。
推荐论文：http://wenku.baidu.com/view/ce445e4f767f5acfa1c7cd51.html
推荐博客：http://blog.csdn.net/sf____/article/details/15026397
推荐博客：http://www.notonlysuccess.com/index.php/plug_dp/
hdu 1693 Eat the Trees插头dp
hdu 4568 Hunter 最短路+TSP
hdu 4539插头dp
hdu 4529 状压dp
poj 1185 炮兵阵地
poj 2411 Mandriann's Dream 轮廓线dp
hdu 3811 Permutation
poj 1038
poj 2441
hdu 2167
hdu 4026
hdu 4281

七、数据结构优化的dp
有时尽管状态找好了，转移方程的想好了，但时间复杂度比较大，需要用数据结构进行优化。常见的优化有二进制优化、单调队列优化、斜率优化、四边形不等式优化等。
1、二进制优化
主要是优化背包问题，背包九讲里面有介绍，比较简单，这里只附上几道题目。
hdu 1059 Diving
hdu 1171 Big Event in Hdu
poj 1048 Follow My Magic
2、单调队列优化
推荐论文：http://wenku.baidu.com/view/4d23b4d128ea81c758f578ae.html
推荐博客：http://www.cnblogs.com/neverforget/archive/2011/10/13/ll.html
hdu 3401 Trade
poj 3245 Sequece Partitioning 二分+单调队列优化
3、斜率优化
推荐论文：用单调性优化动态规划
推荐博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/02/05/1949278.html
hdu 3507 Print Article
poj 1260 Pearls
hdu 2829 Lawrence
hdu 2993 Max Average Problem
4、四边形不等式优化
推荐博客：http://www.cnblogs.com/ronaflx/archive/2011/03/30/1999764.html
推荐博客：http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/08/02/2125242.html
hdu 2952 Counting Sheep
poj 1160 Post Office
hdu 3480 Division
hdu 3516 Tree Construction
hdu 2829 Lawrence



动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
也是ACM比赛中用得最多的算法之一，深入学习动态规划很重要，下面是动态规划的完整分类：
1、背包模型
包括0-1背包、无限背包、有限背包、有价值背包、小数背包（贪心即可)等，是极为经典的模型，其转化与优化也是很重要的。
2、最长非降子序列模型
改版：渡河问题、合唱队型等
3、最大子段和模型
改版：K大子段和、最佳游览，最大子矩阵和等。
4、LCS模型
改版：回文字串、多串的LCS等
5、括号序列模型
改版：关灯问题（TSOJ）、charexp（TSOJ）、最大算式等，核心思想在于以串的长度为阶段。
6、递推模型
这类题是属于徘徊在DP与递归之间得一类题，本质是类似于记忆化搜索的一种填表，有很强的数学味。
7、线段覆盖问题
改版：Tom的烦恼（TOJ）等。经常利用到离散化等技巧辅助。
8、单词划分模型
和LCS基本上构成了字符串DP的主要类型。改版：奇怪的门（TOJ）等。
9、股票模型
这是DP优化的经典模型。改版有换外汇等。
10、连续段划分模型
即要求把数列划分成k个连续段，使每段和的最大值最小。改版有任务调度等。
11、游戏模型
这类题的阶段（一般是时间）和决策（一般就是游戏目标）很清楚，因此比较容易想到。改版：免费馅饼（NOI98）、Help Jimmy（CEOI2000）、瑰丽华尔兹（NOI2005，优化需要多费功夫）.

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