C语言数据结构之算法的时间复杂度 C语言数据结构之算法的时间复

1、算法的复杂度
2、时间复杂度

2.1 时间复杂度的定义
2.2 大O的渐进表示法

3、常见时间复杂度计算举例

3.1 冒泡排序的时间复杂度
3.2 二分查找的时间复杂度
3.3 阶乘(递归)的时间复杂度
3.4菲波那切数列的时间复杂度

1、算法的复杂度算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。（本篇文章主要讨论时间复杂度）

2、时间复杂度
2.1 时间复杂度的定义
时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
举例：
请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N){int count = 0; for (int i = 0; i < N; ++i){for (int j = 0; j < N; ++j){++count; }}for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count; }int M = 10; while (M--){++count; }printf("%d\n", count); }

时间复杂度函数：F(N)=N*N+2*N+10

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实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

1、用1来代替常数,F(N)函数只有常数O(1)
2、在运行次数中，只保留最高阶。 F(N)=N^3+N^2--> O(N^3)
3、最高项系数化为1。F(N) = 2*N--> O(N)

注：复杂度不固定时，时间复杂度看的是最坏的情况（悲观的估算）
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3、常见时间复杂度计算举例
3.1 冒泡排序的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n){assert(a); for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0; for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]); exchange = 1; }}if (exchange == 0)break; }}

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经分析的：F(N)= O(N^2)

3.2 二分查找的时间复杂度

//左闭右开int BinarySearch(int* a, int n, int x){assert(a); int begin = 0; int end = n ; while (begin < end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (a[mid] < x)begin = mid + 1; else if (a[mid] > x)end = mid; elsereturn mid; }return -1; }//左闭右闭int BinarySearch(int* a, int n, int x){assert(a); int begin = 0; int end = n-1; while (begin <= end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1); if (a[mid] < x)begin = mid + 1; else if (a[mid] > x)end = mid-1; elsereturn mid; }return -1; }

假设找了x次：