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Python实现求解最大公约数的五种方法总结

目录

  • 方法一：短除法
  • 方法二：欧几里得算法（辗转相除法）
  • 方法三：更相减损术
  • 方法四：穷举法（枚举法）
  • 方法五：Stein算法
求最大公约数是习题中比较常见的类型，下面小编会给大家提供五种比较常见的算法，记得帮忙点个赞哦！
一般来说，最大公约数的求法大概有5种

方法一：短除法 短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。后来，使用分解质因数法来分别分解两个数的因数，再进行运算。之后又演变为短除法。短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到两个数的商是互质数为止。
简单来说就是逐步找出两个数的所有公约数，再将这些公约数累乘起来，就能得到最大公约数啦！
a=int(input("please input the first number："))b=int(input("please input the second number："))m,n=a,b #创建两个变量存储a和bt=1 #创建t作为最大公约数的载体for i in range(2,min(a,b)):while (a%i==0 and b%i==0):t*=i #所有公约数累乘起来a/=ib/=iprint((f"{m},{n}的最大公约数为：{t}"))

这种方法虽然有点麻烦，但是逻辑却很清楚，不容易出错。

方法二：欧几里得算法（辗转相除法） 欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。
假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
1997 / 615 = 3······152
615 / 152 = 4······7
152 / 7 = 21······5
7 / 5 = 1······2
5 / 2 = 2······1
2 / 1 = 2······0
至此，最大公约数为1
以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。
明白了这其中的逻辑，我们就可以着手开始写程序啦！
a=int(input("please input the first number："))b=int(input("please input the second number："))#首先要给两数排序，保证大数除以小数m=max(a,b)n=min(a,b)t=m%nwhile t!=0:m,n=n,t #仔细观察不难发现：每个除式的m、n是都是上一个式子的n和余数t=m%n #更新余数print(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")

当然了，递归方法也能实现欧几里得算法。
def GCD(a,b):#比较大小，保证大数除以小数if a

方法三：更相减损术 更相减损术是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。原文是：
可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。
白话文译文：
（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。
具体步骤：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
其中所说的“等数”，就是公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。
现在使用更相减损术求98与63的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。
a=int(input("please input the first number："))b=int(input("please input the second number："))#首先要给两数排序，保证大数减小数m=max(a,b)n=min(a,b)#判断两数是否都是偶数，如果都是偶数就同时除2while m%2==0 and n%2==0:m,n=m/2,n/2t=m-n#判断条件是减数和差相等while n!=t:m,n=max(n,t),min(n,t) #每减一轮之后，都要重新判断减数和差的大小，再次以大数减去小数t=m-nprint(f"{a}和{b}的最大公约数为{n}")

【Python实现求解最大公约数的五种方法总结】
方法四：穷举法（枚举法） 从两个数中较小数开始，由小到大列举，找出公约数并保证该公约数也属于较大数，这些公约数的最大者就是最大公约数；也可以从大到小列举，直到找出公约数后跳出循环，该公约数即是最大公约数。
a=int(input("please input the first number："))b=int(input("please input the second number："))p,q=min(a,b),max(a,b)lst=[]for i in range(1,p+1):if p%i==0 and q%i==0:lst.append(i)gcd=max(lst)print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}") #a=int(input("please input the first number："))#b=int(input("please input the second number："))#p,q=min(a,b),max(a,b)#gcd=0#for i in range(p,0,-1):#if p%i==0 and q%i==0:#gcd=i#break#print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")


方法五：Stein算法 Stein算法是一种计算两个数最大公约数的算法，是针对欧几里德算法在对大整数进行运算时，需要试商导致增加运算时间的缺陷而提出的改进算法。
欧几里得算法缺陷：
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来。
一般实际应用中的整数很少会超过64位(当然已经允许128位了)，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
看下面两个结论：
gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。
gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数 和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。
:param a: 第一个数
:param b: 第二个数
:return: 最大公约数
def gcd_Stein(a, b):#保证b比a小if a < b:a, b = b, aif (0 == b):return a#a、b都是偶数，除2右移一位即可if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:return 2 * gcd_Stein(a / 2, b / 2)#a是偶数if a % 2 == 0:return gcd_Stein(a / 2, b)#b是偶数if b % 2 == 0:return gcd_Stein(a, b / 2)#都是奇数return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) a=int(input("please input the first number："))b=int(input("please input the second number："))gcd=int(gcd_Stein(a,b))print(f"{a}和{b}的最大公约数为{gcd}")

以上就是Python实现求解最大公约数的五种方法总结的详细内容，更多关于Python求最大公约数的资料请关注脚本之家其它相关文章！

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