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【学习笔记】fwt&&fmt&&子集卷积

  • 前言：yyb神仙的博客
FWT 基本思路：将多项式变成点值表达，点值相乘之后再逆变换回来得到特定形式的卷积；
多项式的次数界都为\(2^n\)的形式，\(A_0\)定义为前一半多项式(下标二进制第一位为\(0\))，\(A_1\)同理定义；
\((A,B)\)表示多项式\(A\)和\(B\)的直接拼接,FWT的结果都是一个点值表达，相乘表示点值相乘；
下面这些变换都满足线性，记\(n\)为二进制位数，复杂度：\(O(n\times 2^n)\)；
or卷积
  • 形式：
    \[ (A|B)_{k} = \sum_{i|j=k}A_i\times B_j \]
  • 定义变换：
    \[ FWT(A) = (FWT(A_0),FWT(A_0+A_1)) \]
    则：\(FWT(A|B)=FWT(A) \times FWT(B)\)
  • 归纳证明：
  • 注意到\(A|B=(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\) ;
    \[ \begin{align} &FWT(A|B)\\ &=FWT(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\\ &=(FWT(A_0|B_0),FWT(A_0|B_0+A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1))\\ &=(FWT(A_0)\times FWT(B_0),FWT(A_0)\times FWT(B_0)+FWT(A_0) \\ &\times FWT(B_1)+FWT(A_1)\times FWT(B_0)+FWT(A_1)\times FWT(B_1))\\ &=(FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))\times(FWT(B_0),FWT(B_0+B_1))\\ &=FWT(A)\times FWT(B) \end{align} \]
  • 逆变换：
    \[ IFWT(A) = (IFWT(A_0),IFWT(A_1-A_0)) \]
  • 代码：
void fwt(int*A,int F){ for(int i=1; i

and卷积
  • 形式：
    \[ (A\&B)_{k} = \sum_{i\&j=k}A_i\times B_j \]
  • 定义变换：
    \[ FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_1)) \]
    则：\(FWT(A\&B)=FWT(A) \times FWT(B)\)
  • 归纳证明：
    注意到：\(A\&B=(A_0\&B_0+A_0\&B_1+A_1\&B_0,A_1\&B_1)\)
    同理．．
  • 逆变换：
    \[ IFWT(A)=(IFWT(A_0-A_1),IFWT(A_1)) \]
  • 代码
    void fwt(int*A,int F){ for(int i=1; i

xor卷积
  • 形式
    \[ (A \oplus B)_{k} = \sum_{i \oplus j=k}A_i\times B_j \]
  • 定义变换：
    \[ FWT(A) = (FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1)) \]
    则：\(FWT(A \oplus B)=FWT(A) \times FWT(B)\)
  • 归纳证明：
    注意到：\(A \oplus B=(A_0 \oplus B_0+A_1\oplus B_1 ,A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0)\)
    同理．．
  • 逆变换：
    \[ IFWT(A)=(IFWT(A_0+A_1)/2,IFWT(A_0-A_1)/2) \]
  • 代码：
    void fwt(int*A,int F){ for(int i=1; i

FMT 基本思路：将二进制的每一位看成一维，枚举每一维做前缀和就可以得到集合的前缀和；
直接上代码了．．．．．．
子集前缀和(= or)
for(int i=0; i>i&1)f[j]+=f[j^(1<

超集前缀和(= and)
for(int i=0; i=1<>i&1)f[j^(1<

fmt的逆变换只需要将第二维反过来减即可；
优点是代码短，常数小，复杂度也是\(O(n \times 2^n)\)
子集卷积和
  • \(S,T\)是集合，求\(C:C_S = \sum_{S \subset T} A_T \times B_{S-T}\)
  • 设\(A_{i,S}=[|S|=i]\times A_S\)
  • 令\(C_i = \sum_{j\le i} A_{j}|B_{i-j}\)
  • 这样就把问题变成了or卷积
  • 由于我们只关心满足\(|T|=i\)的\(C_{i,T}\)，所以是不会多算的；
  • 时间复杂度:\(O(n^2 \times 2^n)\)
  • 【WC2018】州区划分
    #include #define ll long long #define mod 998244353 #define rg register #define il inline using namespace std; const int N=22; int n,m,p,f[N][1<=mod)x-=mod; } il void dec(int&x,int y){x-=y; if(x<0)x+=mod; } il void fwt(int*A,int F){ if(~F){ for(rg int i=0; ii&1) for(int j=i+1; j>j&1){ if(!(e[i]>>j&1))continue; d[i]++,d[j]++; int fu=find(i),fv=find(j); if(fu!=fv)fa[fu]=fv; } int lst=-1; for(rg int i=0; i>i&1){ if(!~lst)lst=find(i); if(lst!=find(i) || (d[i]&1))return true; } return false; } il int val(int x){ if(!p)return 1; if(p&1)return x; return (ll)x*x%mod; } int main(){ //freopen("walk.in","r",stdin); //freopen("walk.out","w",stdout); scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); all=1<1]+(i&1); } for(rg int i=0; i

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