考虑交互作用&误差变动的设计方案以及协方差
2019/3/3-星期日-阴晴天
1、考虑交互作用的实验设计方案：
一、析因分析
析因分析是将两个或两个以上因素及其各种水平进行排列组合、交叉分组的试验设计。
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图1 样例数据如下：链接：https://pan.baidu.com/s/11ZdXCR7UY8qUxzrEZcEaCQ提取码：4eq9
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图2 思路分析：因变量为邮件的请求数量；固定因子是广告方案以及广告大小。
1、选择Analyze→General Linear Model→Univariate （假设数据服从正态分布）
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图3 
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图4
结果分析：从图4结果可知，广告方案对邮件请求数量有关，广告大小以及方案&广告大小交互项无统计学意义。
那么假如广告方案&广告大小的交互项是有统计学意义的，那么广告大小和广告方案各自的主效应有无统计学意义已经没有实用价值，应当按照不同的组合来分析。
①小广告时广告方案有无差别，即size为0时，A,B,C三种方案之间有无差别。
②大广告时广告方案有无差别，即size为1时，A,B,C三种方案之间有无差别。
③A广告方案时广告大小间有无差别，即project为0时，大小广告之间有无差别。
④B广告方案时广告大小间有无差别，即project为1时，大小广告之间有无差别。
⑤C广告方案时广告大小间有无差别，即project为2时，大小广告之间有无差别。
二、正交设计
正交设计是分式析因设计的主要方法，是同时研究多因素作用的一种设计方法，它根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验。
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图5 
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图6 spss操作方法如下
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图7 
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图8
从图8可知，反应温度与反应时间存在交互作用，硫酸浓度是影响影响璜化率的主要因素，是否搅拌操作的因素影响较小。
三、均匀设计
均匀设计的思想是如果决定做N次试验，则这个点所考察的范围内应该尽可能地均匀分散。
均匀设计特点：
①每个因素的每个水平仅做一次试验；
②任两个因素的试验点在平面的交叉格子的点每行及每列仅有一个试验点。
③均匀表中任两列组成的试验方案一般并不等价。因此每个均匀表中需要附有一个使用表。
④当因素的水平数增加时，实验次数按水平数的增加量增加。
例子如下：
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图9 
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图10 2、误差变动的特殊设计方法：
一、嵌套设计
嵌套设计是当考虑的因素之间存在一定的层级关系时，即嵌套结果的每一层都是其上一层的有效细化，或各个试验因素的影响根据专业知识有主次之分，次要因素的各个水平嵌套在主要因素的水平下，这时所有的设计常为嵌套设计。
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图11 链接：https://pan.baidu.com/s/1kEqTi_2iupF6hdIIUDAb_w提取码：c91d
样例数据如下：
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图12 思路分析：在此例中B因素（温度）是嵌套在A因素（催化剂）下面的，所以为嵌套设计，所以采用嵌套的方差分析模型，该模型在univariate中无法实现，需要在编程窗口中做进一步修改。
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图13 
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图14 
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图15 从图15可知，催化剂和温度对于转化率来说都具有统计学意义，而实验批次无统计学意义。
二、重复测量设计
重复测试设计在不同的条件下，从同一个受试者身上观测到K个数据（K>=2），即对同一受试者对象在不同条件下进行数次观察，得到更多的信息。
三、裂区设计
裂区设计常用情况是一个因素的实验单位客观上要比另外一个或多个的实验单位大，因为此条件所限而采用裂区设计。问题解决如下：
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图16 3、协方差分析
①协方差分析的必要性：协方差分析是针对在实验设计阶段难以控制，或者无法严格控制的因素，在统计分析阶段进行统计控制，它在扣除协变量影响后再对修正后的主效应进行方差分析。是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法。其中协变量一般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组一致。
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图17 数据样例如下：链接：https://pan.baidu.com/s/1ONHembEqK6Qq45xMqbt_CQ 提取码：fg3t
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图18 通过单因素分析得到如下结果：
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图19 
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图20 从图20可知，教学方法对考试成绩是有影响的。
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图21 从图21可知，新方法的期末成绩要比标准方法的期末成绩好。但是这一结果比较粗糙，因为没有结合班级的初始成绩做考虑。所以将各班级摸底成绩作为协变量引入。
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图22 
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图23
摸底考试的成绩代表了各学生水平在两个班级的不同，这是研究中所加入的混杂因素。需要考虑它对最终成绩的影响，忽略其作用直接对教学效果进行分析。
协方差分析的基本思想是在作用于两组或多组均数之间的比较前，用直线回归方法找到各组Y与协变量X之间的数量关系，求得假定X相等时的修正均数。然后用方差分析比较修正均数间的差别。
②平衡性假定的检验
协方差分析一般有一下假定：
【考虑交互作用&误差变动的设计方案以及协方差】（1）各组协变量与因变量的关系是线性的；
（2）各组残差正态；
（3）各组回归斜率相等，即各组回归线应是平行的。
根据以上条件，对于上面的教学问题，我们应当了解两个班级的摸底成绩以及期末成绩的回归线是否平行，即摸底考试成绩的影响在新方法和标准教学方法的两个班级中是否相同，这可以用摸底考试与教学方法是否存在交互作用来表示。
以摸底考试成绩为X，期末考试成绩为Y，教学方法作为分组标记，做出散点图。
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图24 
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图25 
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图26 
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图27 从上面的结果中可以看出，教学方法跟摸底考试的成绩是没有交互作用的；两组的斜率也可以认为是相同，符合协方差分析的条件。
③计算和检验修正均数
在模型的使用条件得到肯定后，下面开始进行协方差分析，比较两组的修正均数有无差异。
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图28 
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图29 从图29可知，教学方法、摸底考试对期末考试的成绩有统计学意义。
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图30
两组（新方法&标准方法）期末考试的均值差异（69.004-64.735=4.269）小于原来的差异（70.9898-62.6196=8.3702），图30下方的提示表明修正均数是按摸底考试成绩=57.9158分来计算的。
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图31
图31可以看出，新方法和标准方法具有统计学差异。
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图32
图32是为了修正均数按方差分析法进行的检验，结论同上。由此可知，协方差分析在扣除协变量影响时主要是求协变量处于均数时因变量的平均值即修正参数，然后对两组的修正均数差别做假设检验，得出统计结论。
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