椭圆参数的推导过程
一、用一般式方程的系数计算椭圆参数
二次曲线的一般式方程为
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，当
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时所表示的图形为椭圆。
设椭圆的圆心为
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，长半轴长度为 a，短半轴长度为 b，长半轴与 x 轴的夹角为 θ。
通过将坐标做平移和旋转变化，可以得到标准形式的椭圆方程：
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展开后，与一般式做对比，并且由于一般式方程乘以任意的非零常数 k 仍成立，可得：
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可以先解出：
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利用
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可得：
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所以
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，利用
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可得：
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。
利用
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可得：
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假设 A>0，否则所有系数乘以-1，最后解出：
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长半轴对应的倾角为
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。
二、坐标变换的方法可用参数方程来推导
把标准椭圆的参数方程
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旋转 θ 角，再平移到
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，得到的参数方程为：
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解出：
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由
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可得：
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三、用矩阵形式推导椭圆参数
形如
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的二次曲线方程可以写成矩阵形式：
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其中
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，称作(x,y)的齐次坐标，
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为系数矩阵。
如果允许
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， 的定义域从二维欧氏空间扩展到二维投影空间。
当
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0">时，Q 表示椭圆。
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称作极点 关于椭圆 Q 的极线。当 在 Q 上时，
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经过 ，
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，且
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是 Q 在 处的切线。当 椭圆外面时， 离椭圆越远，
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越靠近椭圆的圆心。
无穷远点
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的极线
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和无穷远点
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的极线
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都过圆心。
联立
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可解出椭圆的圆心坐标为：
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Q 可以分解为：
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其中
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。
形如
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的系数矩阵可表示圆心在原点上的椭圆。
取
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的本征值和本征向量，
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，左侧的
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是坐标点，右侧的
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是极线的参数，即
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，
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作为向量则表示垂直与极线的方向。所以本征向量
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是作为坐标点的
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对应的极线垂直于作为向量的
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的向量。当坐标点
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在椭圆上时，该点的切线垂直于该点到原点的连线。
仅当极点在轴线上时，对应的极线垂直于轴线。仅当轴线过原心时轴线的方向与轴线上点的坐标值一致。当两条轴线都过原点时，椭圆的圆心在原点上。
【椭圆参数的推导过程】因为
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是齐次坐标，只有前两个维度表示轴线方向所以有
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解出来的本征向量就是椭圆轴线的方向：
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本征值为：
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两个正交的轴线方向组成一个旋转矩阵，坐标变换后椭圆的系数矩阵变为
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，对比椭圆的标准型
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，可知
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为椭圆半轴的长度。本征值与半轴的平方成反比，所以绝对值较小的本征值对应椭圆的长半轴。当 a 和 c 为正数时
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，
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为长轴方向；当 a 和 c 为负数时
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，
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为长轴方向。
半轴长度的平方为：
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与 x 轴的夹角为：
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四、由椭圆参数计算椭圆方程的系数
当
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已知时，根据前面的推导：
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取
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，得：
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