一文彻底理解逻辑回归(从公式推导到代码实现)

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前言 【一文彻底理解逻辑回归(从公式推导到代码实现)】大家好,这里是 Codeman 。这是本文的第二次修订,在前文的基础之上,这次我增加了很多公式的推导,从数学原理到代码实现,本文提供了一站式服务,希望能帮助读者从根上理解逻辑回归,一劳永逸地解决问题!

多次修订,只源于我精益求精的人生态度。写博客,我是认真的!如果你觉得本文确实对你有帮助,请点个赞支持我一下吧
正文 逻辑回归在社会和自然科学中应用非常广泛,它其实是一种统计学习方法,因为它的底层方法就是线性回归。它们不同的地方在于:线性回归适用于解决回归问题,而逻辑回归适用于解决分类问题。这是为什么呢?别急,看完本文你就懂了。因此,我们可以说逻辑回归是基于回归的伪回归算法!
一文彻底理解逻辑回归(从公式推导到代码实现)
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在自然语言处理中,逻辑回归是用于分类的基线监督机器学习算法,它与神经网络也有非常密切的关系,神经网络可以被视为一系列堆叠在一起的逻辑回归分类器。
由于后文涉及到很多数学公式的推导,因此我们先做一个符号约定:
符号 含义
\(\) 训练集中样本的数量
\(\) 特征的数量
\(\) 特征/输入变量
\(\) 目标变量/输出变量
\((,)\) 训练集中的样本
\((^{()},^{()})\) 第 \(\) 个观察样本
\(_j^{(i)}\) 第 \(\) 个观察样本的第 \(j\) 个特征
\(?\) 学习算法的解决方案或函数,也称为假设(hypothesis)
\(\widehat{}=?()\) 预测值
我们先从线性回归开始讲起,一步一步地领略逻辑回归的全貌。
1.线性回归 线性回归是一种使用特征属性的线性组合来预测响应的方法。它的目标是找到一个线性函数,以尽可能准确地描述特征或自变量(\(x\))与响应值(\(y\))之间的关系,使得预测值与真实值之间的误差最小化。
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1.1 数学定义
在数学上,线性回归要找的这个线性函数叫回归方程,其定义如下:

\[h(x^{(i)})=\beta_0+\beta_1x^{(i)}\tag{1.1} \]
其中,\(h(x^{(i)})\)表示第 \(i\) 个样本的预测响应值。\(b_0\) 和 \(b_1\) 是回归系数,分别代表回归线的 \(y\) 轴截距和斜率。这种形式通常见于特征只有单个属性的时候,也就是一元线性回归,我们初高中所学的就是这种。
在机器学习中,通常每个样本都有 \(n\) 个特征属性,每个特征 \(x_i\) 都有一个对应的权值 \(w_i\),此时我们需要的就是多元线性回归:

\[?()=_0x_0 +_1_1 +_2_2 +...+__=w^TX\tag{1.2} \]
其中,\(x_0=1\) 没有实义,只是为了方便写成矩阵的形式,\(w_0\) 则等价于式 (1.1) 中的 \(\beta_0\),把 \(\beta_0\) 融入矩阵中,不仅为了看起来简洁,也是为了方便计算。
若损失函数采用平方和损失:

\[(^{()})=\frac{1}{2}(?(^{()})?^{()})^2\tag{1.3} \]
则代价函数定义如下:

\[J(w)=\frac{1}{2}\sum_{=1}^(?(^{()})?^{()})^2\tag{1.4} \]
损失函数(Loss Function)度量单样本预测的误差,代价函数(Cost Function)度量全部样本的平均误差。常用的代价函数有均方误差、均方根误差、平均绝对误差等。
损失函数的系数 1/2 是为了便于计算,使对平方项求导后的常数系数为 1。
我们的目标是要找到一组 \((_0,_1,_2,...,_)\),使得代价函数 \(J(w)\) 最小,即最小化 \(\frac{\partial {()}}{\partial }\)。
下面我们将详细描述用最小二乘法求 \(\) 的推导过程。
1.2 最小二乘法
为了方便叙述,我们将\(J(w)\)用矩阵形式表达,即:

\[J()=\frac{1}{2}(?)^2=\frac{1}{2}(?)^(?)\tag{1.5} \]
其中,\(\) 为 \(\) 行 \(+1\) 列的矩阵(第一列全为 \(1\),即式 (1.2) 中的 \(x_0\)),\(\) 为 \(+1\) 行 \(1\) 列的矩阵(包含了 \(_0\) ),\(\) 为 \(\) 行 \(1\) 列的矩阵。

\[X=\left[\begin{array}{cccccc} 1 & x_{1}^{(1)} & x_{2}^{(1)} & x_{3}^{(1)} & \ldots & x_{n}^{(1)} \\ 1 & x_{1}^{(2)} & x_{2}^{(2)} & x_{3}^{(2)} & \ldots & x_{n}^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{1}^{(m)} & x_{2}^{(m)} & x_{3}^{(m)} & \ldots & x_{n}^{(m)} \end{array}\right],\quad w=\left[\begin{array}{c}w_0\\w_2\\\vdots \\w_n \end{array}\right],\quad Y=\left[\begin{array}{c}y^{(1)} \\y^{(2)} \\\vdots \\y^{(m)}\end{array}\right] \]
对式 (1.5) 求导,可得:

\[\frac{\partial {()}}{\partial }=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial }(w^TX^TXw-Y^TXw-w^TX^TY+Y^TY)\tag{1.6} \]
又 \(Y^TXw=(w^TX^TY)^T\),\(\frac{^}{}=2\),所以

\[\begin{aligned} \frac{\partial {()}}{\partial } &=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial }(w^TX^TXw-2w^TX^TY+Y^TY)\\ &=\frac{1}{2}(2X^TXw-2X^TY+0)\\ &=X^TXw-X^TY \end{aligned}\tag{1.7} \]
令\(\frac{\partial {()}}{\partial }=0\),则:

\[=(^)^{?1}^\tag{1.8} \]
由上式可知,最小二乘法需要计算\((^)^{?1}\),但是矩阵求逆的时间复杂度为 \((3)\),因此当特征数量 \(\) 较大时,其运算代价非常大。所以这种方法只适用于特征数量较少的线性模型,不适用于其他模型。
现代机器学习中常用的参数更新方法是梯度下降法。
1.3 梯度下降法
根据梯度下降的每一步中用到的样本数量,可以将梯度下降法分为以下三类:
类别 样本数量 公式
批量梯度下降(Batch Gradient Descent,BGD) 所有 \(w_{j}:=w_{j}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot x_{j}^{(i)}\right)\)
随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent,SGD) 一个 \(w_{j}:=w_{j}-\alpha\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot x_{j}^{(i)}\)
小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent,MBGD) 部分 \(w_{j}:=w_{j}-\alpha \frac{1}{b} \sum_{k=i}^{i+b-1}\left(h\left(x^{(k)}\right)-y^{(k)}\right) x_{j}^{(k)}\)
其中,\(\alpha\) 称为学习率。根据公式,不难看出,BGD 和 SGD 其实是 MBGD 的 \(b\) 取值为 \(m\) 和 \(1\) 时的特殊情况。我们以 SGD 为例,推导一遍参数的更新过程。

\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial w_{j}} J(w) &=\frac{\partial}{\partial w_{j}} \frac{1}{2}\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}\\ &=2 \cdot \frac{1}{2}\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial w_{j}}\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \\ &=\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial w_{j}}\left(\sum_{i=0}^{n}\left(w_{i} x_{i}^{(i)}-y^{(i)}\right)\right) \\ &=\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x_{j}^{(i)} \end{aligned}\tag{1.9} \]
又 \(w_j=w_j-\alpha\frac{\partial}{\partial w_{j}} J(w)\),所以

\[w_{j}:=w_{j}-\alpha\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot x_{j}^{(i)}\tag{1.10} \]
1.4 回归的评价指标
监督学习主要分回归和分类两种,二者的评价指标是截然不同的。我们先在此介绍回归的评价指标。
首先是误差要越小越好,主要是下面几种:
指标 公式
均方误差(Mean Square Error,MSE) \(MSE=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}\)
均方根误差(Root Mean Square Error,RMSE) \(RMSE(y, \widehat{y})=\sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}}\)
平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE) $ MAE(y, \widehat{y})=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} |y{(i)}-\widehat{y}{(i)} |$
其次是 \(R^2\) 要越大越好,它越接近于 1,说明模型拟合得越好。计算公式如下:

\[R^{2}(y, \widehat{y})=1-\frac{\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}}{\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}}=1-\frac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}}=\frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}}\tag{1.11} \]
其中,\(SSR=\sum_{i=0}^{m}\left(\widehat{y}^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}\),\(SSE=\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}\),\(SST=\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}\)。
SST 是 Sum of Squares Total 的缩写,含义是总平方和。它是变量 \(y\) 与其平均值 \(\bar{y}\) 之差的平方和。我们可以将其视为对于变量 \(y\) 在其平均值 \(\bar{y}\) 周围的分散程度的一种度量,很像描述性统计中的方差。
SSR 是 Sum of Squares Regression 的缩写,含义是回归的平方和。它是预测值 \(\widehat{y}\) 与平均值 \(\bar{y}\) 之差的平方和。我们可以将其视为描述回归线与数据的拟合程度的一种度量。
SSE 是 Sum of Squares Error 的缩写,含义是误差的平方和。它是预测值 \(\widehat{y}\) 与观测值 \(y\) 之差的平方和。
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从图中不难看出,三者的关系是:SST = SSR + SSE。如果 SSR 的值等于 SST,这意味着我们的回归模型是完美的。
2.逻辑回归 我们前面说过,逻辑回归和线性回归不同的地方在于:线性回归适用于解决回归问题,而逻辑回归适用于解决分类问题。本节我们就讲讲造成这种差异的原因。
2.1 Sigmoid函数
我们知道逻辑回归的目标是训练一个分类器,该分类器可以对输入数据的类别做出决策。以二元逻辑回归为例,对于一个输入 \(x(x_1,x_2,...,x_n)\),我们希望分类器能够输出 \(y\) 是 1(是某类的成员)或 0(不是某类的成员)。也就是说,我们想知道这个输入 \(x\) 是该类成员的概率 \(P(y = 1|x)\)。
我们知道逻辑回归的底层就是线性回归,但是线性回归解决的是回归问题,那我们如何将一个回归问题转化为一个分类问题呢?为了方便讨论,我们再对式 (1.2) 做一点形式变换,即令

\[z=?()=_0 +_1_1 +_2_2 +...+__=w^TX\tag{2.1} \]
有些地方写的是 \(z=^+\),其实是一样的,因为 \(b\) 可以融入到 \(w_0\) 中。
我们观察式 (2.1),不难发现,\(z\) 的输出范围没有任何限制,即 \((-∞, +∞)\)。而作为一个分类器,我们需要输出的是位于 0 和 1 之间的合法概率值。而为了完成这一步转变,我们就需要 Sigmoid函数 \(σ(z)\)。Sigmoid 函数(命名是因为它的图像呈形)也称为逻辑函数,逻辑回归的名称也由此而来。
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Sigmoid 有许多优点,它能将任意实数映射到 \([0,1]\) 范围内,而且任意阶可导。它在 0 附近几乎是线性的,但在两端趋于平缓,它能将异常值压向 0 或 1。

\[\sigma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{1+\exp (-z)}\tag{2.2} \]
我们将式 (2.1) 的值代入上式,就能得到一个介于 0 和 1 之间的概率。对于一个二元逻辑回归,我们只需要确保 \(P(y = 1)+P(y = 0)=1\) 即可。我们可以这样做:

\[\begin{aligned} P(y=1) &=\sigma(z)=\frac{1}{1+\exp (-z)} \\ P(y=0) &=1-\sigma(z)=1-\frac{1}{1+\exp (-z)}=\frac{\exp (-z)}{1+\exp (-z)} \end{aligned}\tag{2.3} \]
根据 Sigmoid 函数的性质:

\[1?σ(x)=σ(?x)\tag{2.4} \]
我们也可以将 \(P(y = 0)\) 表示为 \(σ(?z)\)。
好了,现在我们已经有了概率值,那么概率值大于多少我们认为它是属于 1 类呢?通常,如果概率 \(P(y = 1|x)\) 大于 \(0.5\),我们认为是,否则就不是。这个 0.5 被称为决策边界。

\[\operatorname{decision}(x)= \begin{cases}1 & \text { if } P(y=1 \mid x)>0.5 \\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}\tag{2.5} \]
总结:逻辑回归的总体思路就是,先用逻辑函数把线性回归的结果 (-∞,∞) 映射到 (0,1),再通过决策边界建立与分类的概率联系。
逻辑函数还有一个很好的特性就是,其导函数可以转化成本身的一个表达式,推导过程如下:

\[\begin{aligned} \sigma^{\prime}(z)&=\left(\frac{1}{1+e^{-z}}\right)^{\prime} \\ &=\frac{e^{-z}}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} \\ &=\frac{1+e^{-z}-1}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{\left(1+e^{-z}\right)}\left(1-\frac{1}{\left(1+e^{-z}\right)}\right) \\ &=\sigma(z)(1-\sigma(z)) \end{aligned}\tag{2.6} \]
在二分类模型中,事件发生与不发生的概率之比 \(\frac{}{1?}\) 称为事件的几率(odds)。令\(\sigma(z)=p\),解得:

\[z=log(\frac{p}{1-p})\tag{2.7} \]
也就是说,线性回归的结果(即 \(z\) )等于对数几率。
2.2 代价函数
下面我们讲讲模型的参数如何更新。我们使用极大似然估计法来求解。极大似然估计法利用已知样本结果,反推最有可能导致这样结果的原因。我们的目标就是找到一组参数,使得在这组参数下,我们的样本的似然度(概率)最大。
对于一个二分类模型,已知 \(P(y=1)=\sigma(z),P(y=0)=1-\sigma(z)\), 则似然函数为:

\[L(w)=\prod_{i=1}^{m} P\left(y^{(i)} \mid x^{(i)} ; w\right)=\prod_{i=1}^{m}\left(\sigma\left(x^{(i)}\right)\right)^{y^{(i)}}\left(1-\sigma\left(x^{(i)}\right)\right)^{1-y^{(i)}}\tag{2.8} \]
等式两边同时取对数:

\[l(w)=\log L(w)=\sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)} \log \left(\sigma\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-\sigma\left(x^{(i)}\right)\right)\right)\tag{2.9} \]
则代价函数为:

\[J(w)=-\frac{1}{m} l(w)\tag{2.10} \]
其实,式(2.9)前面再加一个负号,就是我们常用的损失函数——交叉熵损失(cross-entropy loss)。
代价函数之所以要加负号,是因为机器学习的目标是最小化损失函数,而极大似然估计法的目标是最大化似然函数。那么加个负号,正好使二者等价。
2.3 梯度下降法求解
求解逻辑回归的方法有非常多,我们这里主要了解一下梯度下降法。
将式 (2.2) 代入式 (2.10),得:

\[\begin{aligned} \because & y^{(i)} \log \left(\sigma\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-\sigma\left(x^{(i)}\right)\right)\\ &=y^{(i)} \log \left(\frac{1}{1+e^{-w^{T} x^{(i)}}}\right)+\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1-\frac{1}{1+e^{-w^{T} x^{(i)}}}\right)\\ &=-y^{(i)} \log \left(1+e^{-w^{T} x^{(i)}}\right)-\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1+e^{w^{T} x^{(i)}}\right)\\\therefore J(w)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\left(-y^{(i)} \log \left(1+e^{-w^{T} x^{(i)}}\right)-\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1+e^{w^{T} x^{(i)}}\right)\right) \end{aligned}\tag{2.11} \]
对 \(J(w)\) 求偏导,得:

\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial w_{j}} J(w)&=\frac{\partial}{\partial w_{j}}\left(-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(-y^{(i)} \log \left(1+e^{-w^{T} x^{(i)}}\right)-\left(1-y^{(i)}\right) \log \left(1+e^{w^{T} x^{(i)}}\right)\right)\right) \\ &=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(-y^{(i)} \frac{-x_{j}^{(i)} e^{-w^{T} x^{(i)}}}{1+e^{-w^{T} x^{(i)}}}-\left(1-y^{(i)}\right) \frac{x_{j}^{(i)} e^{w^{T} x^{(i)}}}{1+e^{w^{T} x^{(i)}}}\right) \\ &=-\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\sigma\left(x^{(i)}\right)\right) x_{j}^{(i)} \\ &=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(\sigma\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x_{j}^{(i)} \end{aligned}\tag{2.12} \]
所以:

\[w_{j}:=w_{j}-\frac{\partial}{\partial w_{j}} J(w)=w_{j}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(\sigma\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x_{j}^{(i)}\tag{2.13} \]
2.4 逻辑回归的分类
逻辑回归对特征变量(x)和分类响应变量(y)之间的关系进行建模,在给定一组预测变量的情况下,它能给出落入特定类别响应水平的概率。也就是说,你给它一组数据(特征),它告诉你这组数据属于某一类别的概率。根据分类响应变量(y)的性质,我们可以将逻辑回归分为三类:
  • 二元逻辑回归(Binary Logistic Regression)
    当分类结果只有两种可能的时候,我们就称为二元逻辑回归。例如,考试通过或未通过,回答是或否,血压高或低。
  • 名义逻辑回归(Nominal Logistic Regression)
    当存在三个或更多类别且类别之间没有自然排序时,我们就称为名义逻辑回归。例如,企业的部门有策划、销售、人力资源等,颜色有黑色、红色、蓝色、橙色等。
  • 序数逻辑回归(Ordinal Logistic Regression)
    当存在三个或更多类别且类别之间有自然排序时,我们就称为序数逻辑回归。例如,评价有好、中、差,身材有偏胖、中等、偏瘦。注意,类别的排名不一定意味着它们之间的间隔相等。
2.5 Softmax Regression
我们以上讨论都是以二元分类为前提展开的,但有时可能有两个以上的类,例如情绪分类有正面、负面或中性三种,手写数字识别有 0-9 总共十种分类。
在这种情况下,我们需要多元逻辑回归,也称为 Softmax Regression。在多元逻辑回归中,我们假设总共有 \(K\) 个类,每个输入 \(x\) 只能属于一个类。也就是说,每个输入 \(x\) 的输出 \(y\) 将是一个长度为 \(K\) 的向量。如果类 \(c\) 是正确的类,则设置\(\mathbf{y}_c=1\),其他元素设置为 0,即\(\mathbf{y}_{c}=1,\mathbf{y}_{j}=0\quad\forall j \neq c\)。这种编码方式称为 one-hot 编码。此时,分类器的工作是产生一个估计向量。对于每个类 \(k\),产生一个概率估计 \(P(y_k = 1|x)\)。
多元逻辑分类器采用 sigmoid 的泛化函数 softmax 来计算 \(P(y_k = 1|x)\)。它能将 \(K\) 个任意值的向量 \(z = [z_1,z_2,\dots,z_K]\) 映射到 (0,1) 范围内的概率分布上,并且所有值的总和为 1 。其定义如下:

\[\operatorname{softmax}\left(\mathbf{z}_{i}\right)=\frac{\exp \left(\mathbf{z}_{i}\right)}{\sum_{j=1}^{K} \exp \left(\mathbf{z}_{j}\right)} 1 \leq i \leq K\tag{2.14} \]
因此,输入向量 \(z = [z_1,z_2,\dots,z_K]\) 的 softmax输出如下:

\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z})=\left[\frac{\exp \left(\mathbf{z}_{1}\right)}{\sum_{i=1}^{K} \exp \left(\mathbf{z}_{i}\right)}, \frac{\exp \left(\mathbf{z}_{2}\right)}{\sum_{i=1}^{K} \exp \left(\mathbf{z}_{i}\right)}, \ldots, \frac{\exp \left(\mathbf{z}_{K}\right)}{\sum_{i=1}^{K} \exp \left(\mathbf{z}_{i}\right)}\right]\tag{2.15} \]
举个例子,若 \(\mathbf{z}=[0.6,1.1,-1.5,1.2,3.2,-1.1]\),则

\[\operatorname{softmax}(\mathbf{z})=[0.055,0.090,0.006,0.099,0.74,0.010] \]
与 sigmoid 一样,softmax 也具有将异常值压向 0 或 1 的特性。因此,如果其中一个输入远大于其他输入,它将倾向于将其概率推向 1,并抑制较小输入的概率。
由于现在有 \(K\) 个类别,而且每一个类别都有一个单独的权重向量 \(w_k\),则每个输出类别的概率估计 \(\widehat{y_k}\) 应该这样计算:

\[P\left(\mathbf{y}_{k}=1 \mid \mathbf{x}\right)=\frac{\exp \left(\mathbf{w}_{k}^T \cdot \mathbf{x}\right)}{\sum_{j=1}^{K} \exp \left(\mathbf{w}_{j}^T \cdot \mathbf{x}\right)}\tag{2.16} \]
上式看起来我们将分别每个类别计算输出。但是,我们可以将 \(K\) 个权重向量表示为权重矩阵 \(W\)。\(W\) 的第 \(k\) 列对应于权重向量 \(w_k\)。因此,\(W\) 的形状为 \([(n+1) \times K]\),其中,\(K\) 是输出类的数量,\(n\) 是输入特征的数量,加 \(1\) 对应的就是偏置。这样一来,我们还是可以通过一个优雅的公式计算 \(\widehat{y}\):

\[\widehat{y}=\operatorname{softmax}{(W^TX)}\tag{2.17} \]
3. 代码实现(Pytorch)
class LogisticRegression(torch.nn.Module):def __init__(self, num_features): super(LogisticRegression, self).__init__() #调用父类的构造函数 self.linear = torch.nn.Linear(num_features, 1)self.linear.weight.detach().zero_() #权值初始化为0 self.linear.bias.detach().zero_() #偏置初始化为0def forward(self, x): logits = self.linear(x) probas = torch.sigmoid(logits) return probas

在 Pytorch 中可以通过继承torch.nn.Module类来实现自定义模型,在__init__中定义每一层的构造,在forward中定义每一层的连接关系,是实现模型功能的核心,且必须重写,否则模型将由于无法找到各层的连接关系而无法执行。
torch.nn.Linear对传入的数据做线性变换,weightbias 是它的两个变量,分别代表学习的权值和偏置。
4. 鸢尾花分类 我们以鸢尾花数据的分类为例,做一个简单地用 Logistic 回归进行分类的任务。
  • 数据集获取与划分
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from io import BytesIOimport torch import torch.nn.functional as Fds = np.lib.DataSource() fp = ds.open('http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data')x = np.genfromtxt(BytesIO(fp.read().encode()), delimiter=',', usecols=range(2), max_rows=100) y = np.zeros(100) y[50:] = 1np.random.seed(1) idx = np.arange(y.shape[0]) np.random.shuffle(idx) X_test, y_test = x[idx[:25]], y[idx[:25]] X_train, y_train = x[idx[25:]], y[idx[25:]] mu, std = np.mean(X_train, axis=0), np.std(X_train, axis=0) X_train, X_test = (X_train - mu) / std, (X_test - mu) / stdfig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 2.5)) ax[0].scatter(X_train[y_train == 1, 0], X_train[y_train == 1, 1]) ax[0].scatter(X_train[y_train == 0, 0], X_train[y_train == 0, 1]) ax[1].scatter(X_test[y_test == 1, 0], X_test[y_test == 1, 1]) ax[1].scatter(X_test[y_test == 0, 0], X_test[y_test == 0, 1]) plt.show()

实际的数据共有152行,我们只取前100行。按照下标随机打乱之后来划分训练集和测试集。其中,训练集有75行,测试集有25行。
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  • 模型训练
model = LogisticRegression(num_features=2).to(device) cost_fn = torch.nn.BCELoss(reduction='sum') optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)def custom_where(cond, x_1, x_2): return (cond * x_1) + ((1-cond) * x_2)def comp_accuracy(label_var, pred_probas): pred_labels = custom_where((pred_probas > 0.5).float(), 1, 0).view(-1) acc = torch.sum(pred_labels == label_var.view(-1)).float() / label_var.size(0) return accnum_epochs = 10X_train_tensor = torch.tensor(X_train, dtype=torch.float32, device=device) y_train_tensor = torch.tensor(y_train, dtype=torch.float32, device=device).view(-1, 1)for epoch in range(num_epochs):#### Compute outputs #### out = model(X_train_tensor)#### Compute gradients #### cost = cost_fn(out, y_train_tensor) optimizer.zero_grad() cost.backward()#### Update weights #### optimizer.step()#### Logging #### pred_probas = model(X_train_tensor) acc = comp_accuracy(y_train_tensor, pred_probas) print('Epoch: %03d' % (epoch + 1), end="") print(' | Train ACC: %.3f' % acc, end="") print(' | Cost: %.3f' % cost_fn(pred_probas, y_train_tensor))print('\nModel parameters:') print('Weights: %s' % model.linear.weight) print('Bias: %s' % model.linear.bias)

BCELoss计算目标值和预测值之间的二进制交叉熵损失函数,数学公式如下:

\[Loss = -w[ylog(y')+(1-y)log(1-y')] \]
其中,\(w\)、\(y\)、\(y'\) 分别表示权值、标签(target)、预测概率值(input probabilities)。reduction取值为sum表明对样本的损失值进行求和。
输出如下:
Epoch: 001 | Train ACC: 0.987 | Cost: 5.581 Epoch: 002 | Train ACC: 0.987 | Cost: 4.882 Epoch: 003 | Train ACC: 1.000 | Cost: 4.381 Epoch: 004 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.998 Epoch: 005 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.693 Epoch: 006 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.443 Epoch: 007 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.232 Epoch: 008 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.052 Epoch: 009 | Train ACC: 1.000 | Cost: 2.896 Epoch: 010 | Train ACC: 1.000 | Cost: 2.758Model parameters: Weights: Parameter containing: tensor([[ 4.2267, -2.9613]], requires_grad=True) Bias: Parameter containing: tensor([0.0994], requires_grad=True)

  • 模型评估
X_test_tensor = torch.tensor(X_test, dtype=torch.float32, device=device) y_test_tensor = torch.tensor(y_test, dtype=torch.float32, device=device)pred_probas = model(X_test_tensor) test_acc = comp_accuracy(y_test_tensor, pred_probas)print('Test set accuracy: %.2f%%' % (test_acc*100))

输出如下:
Test set accuracy: 100.00%
一文彻底理解逻辑回归(从公式推导到代码实现)
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结语 一个非常基础的入门级的机器学习算法,但是要完全讲透还是非常困难,尤其是公式的推导部分,光用文字描述很难讲清楚,但是总体上公式的推导都没问题,只是说第一眼看不是那么容易懂,多看几遍或者自己在纸上写一写还是不难理解的。另外,也请读者发现错误后能在评论区指出,我看到后会及时更正。
全文写下来洋洋洒洒六千字,也花费了好几天的时间,从自己理解到写出来让别人看懂,这之间差别真的很大,可能也是我不善于表达,词不达意,也请大家见谅。
篇幅这么长,公式这么多,看完本文你可能什么也记不住,但是这两点你一定要记住:
1. Logistic回归不适用于解决回归问题,它适用于解决分类问题。千万不要被它的名称迷惑!
2. Logistic回归 = 线性回归 + Sigmoid 函数。当然了,如果是多元回归的话就是 softmax 函数。
例行公事:如果你觉得本文确实对你有帮助,请点个赞支持我一下吧

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