微分方程概论数学

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概念
案例讲解-摆动球
难以计算
状态的表示
向量场

【微分方程概论】
概念

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微分方程分为2类，只有一个变量的常微分方程(ODE)和有两个变量的偏微分方程（PDE）
案例讲解-摆动球这里是一个球摆动模型，我们来建立微分方程

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你会发现当摆动幅度较大时候

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摆动周期会比中学计算公式计算出来的更大

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当距离更远就不像余弦函数了

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为了理解这个问题我们建立微分方程来解决
我们用这个振幅所对应的弧长X来表示它的位置，若 θ \theta θ是弧度制，则x可表示为 L ? θ L*\theta L?θ,这里L是摆长。考虑重力受力图如下，加速度前面的负号总是与指向与位移相反的方向。

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所以x的二阶导数，即加速度是 ? g ? sin ? ( θ ) -g^{*} \sin (\theta) ?g?sin(θ)
a = x ¨ = ? g sin ? ( θ ) a=\ddot{x}=-g \sin (\theta) a=x¨=?gsin(θ)
因为 x = L ? θ x=L*\theta x=L?θ,所以 θ \theta θ的二阶导数是 ? g ? s i n ( θ ) / L -g*sin(\theta)/L ?g?sin(θ)/L
θ ¨ = ? g L sin ? ( θ ) \ddot{\theta}=-\frac{g}{L} \sin (\theta) θ¨=?Lg?sin(θ)
加入空气阻力，假设空气阻力大小与速度的大小成正比，。

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一开始我们以为曲线会以正弦的波动形式摆动，但实际上单摆不会以正弦波动形式摆动的原因就是中间的 s i n ( θ ( t ) ) sin(\theta{(t)}) sin(θ(t))
难以计算在这里微分方程的难点就是难以计算，如果去掉阻力项，则勉强可以计算。

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通常才用直接写程序试凑的方法得到。

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状态的表示单摆的状态可以用两个数字来表示，角度和角速度，你可以在不影响其中一个值得情况下改变另一个值。但加速度只关于这两个值得函数，所以这个二维平面上的点完全描述了任意给定时刻的单摆。

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从开始时候，随着 θ \theta θ减小， θ ′ \theta^{\prime} θ′在y方向越来越小。是因为在最接近低点时候，单摆向左的速度越来越大，景观单摆的速度方向是向左，在我们二维空间中，速度大小由垂直分量代表，这个图描述了单摆因为空气阻力失去能量的运动。
通过这个空间，我们可以将微分方程可视化为向量场
向量场