目录 1、最小二乘法拟合曲线
2、正则化
3、简单交叉验证
4、样条插值
1、最小二乘法拟合曲线
[第一章]
最小二乘法
根据高斯-马尔科夫定理,在线性回归模型(y = β x + ε y = \beta x+\varepsilon y=βx+ε )中，如果误差ε \varepsilon ε 满足零均值、等方差、互不相关，则最小二乘法估计的回归系数β ^ \hat \beta β^? 满足最佳线性无偏估计，即方差最小。
使用最小二乘法拟和曲线
对于数据 ( x i , y i ) ( i = 1 , 2 , 3... , m ) (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m) (xi?,yi?)(i=1,2,3...,m)
拟合出函数y ^ = w ^ x \hat y = \hat w x y^?=w^x
有误差，即残差： e i = y i ^ ? y i e_i=\hat {y_i}-y_i ei?=yi?^??yi?
残差平方和(∑ i = 1 m ( y i ^ ? y i ) 2 \sum_{i=1}^m (\hat {y_i} - y_i)^2 ∑i=1m?(yi?^??yi?)2 )最小时y ^ \hat y y^? 和 y 相似度最高，更拟合
存在H(x)为n次的多项式， H ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . w n x n = ∑ j = 1 n w j x j H(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...w_nx^n = \sum_{j=1}^n w_jx^j H(x)=w0?+w1?x+w2?x2+...wn?xn=∑j=1n?wj?xj
w ( w 0 , w 1 , w 2 , . . . , w n ) w(w_0,w_1,w_2,...,w_n) w(w0?,w1?,w2?,...,wn?)为参数
最小二乘法就是要找到一组w ( w 0 , w 1 , w 2 , . . . , w n ) w(w_0,w_1,w_2,...,w_n) w(w0?,w1?,w2?,...,wn?) 使得 ∑ i = 1 n ( h ( x i ) ? y i ) 2 \sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2 ∑i=1n?(h(xi?)?yi?)2 (残差平方和) 最小
即，求m i n ∑ i = 1 m ( h ( x i ) ? y i ) 2 min\sum_{i=1}^m(h(x_i)-y_i)^2 min∑i=1m?(h(xi?)?yi?)2
【例1.1 11页】用目标函数 y = s i n 2 π x y=sin2{\pi}x y=sin2πx, 加上一个正太分布的噪音干扰，用多项式去拟合

import numpy as np#数值计算库 import scipy as sp#Scipy是一个高级的科学计算库，它和Numpy联系很密切 from scipy.optimize import leastsq#leastsq()表示最小二乘拟合计算 import matplotlib.pyplot as plt#画图 %matplotlib inline #%matplotlib inline 可以在Ipython编译器里直接使用，功能是可以内嵌绘图，并且可以省略掉plt.show()这一步。

ps: numpy.poly1d([1,2,3]) 生成1 x 2 + 2 x 1 + 3 x 0 1x^2+2x^1+3x^0 1x2+2x1+3x0

# 目标函数 def real_func(x): return np.sin(2*np.pi*x)#定义目标函数real_func# 多项式 def fit_func(p, x): f = np.poly1d(p)#定义多项式，p为参数向量，x为随机变量 return f(x)# 残差 def residuals_func(p, x, y): ret = fit_func(p, x) - y#定义残差，即多项式拟合值与实际值的差值，y表示输入变量x对应的实际输出变量 return ret

# 十个点 x = np.linspace(0, 1, 10) x_points = np.linspace(0, 1, 1000) # 加上正态分布噪音的目标函数的值 y_ = real_func(x) y = [np.random.normal(0, 0.1)+y1 for y1 in y_]

def fitting1(M=0): """ M 为 多项式的最高次数 """ # 随机初始化多项式参数 p_init = np.random.rand(M+1) # 最小二乘法 p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y))# 可视化 plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve') plt.plot(x, y, 'bo', label='noise') plt.legend() return plt.show()#M=0 plt.text(0,0.9,"M = 0")#加入文本注释 fitting1(M=0)#M=1 plt.text(0,0.9,"M = 1") fitting1(M=1)#M=3 plt.text(0,0.9,"M = 3") fitting1(M=3)#M=9 plt.text(0,0.9,"M = 9") fitting1(M=9)

M=0

文章图片

M=1

文章图片

M=3

文章图片

M=9

文章图片

当M=0时，多项式是一条直线 ，数据的拟合效果很差，认为“欠拟合”，欠拟合通常是因为学习能力低下导致的；
当M=1时，多项式是一条直线 ，数据的拟合效果也很差，认为“欠拟合”；
当M=3时，多项式是一条曲线 ，数据的拟合效果比较好，模型也比较简单；
当M=9时，多项式曲线通过了每个数据点，但模型比较复杂，模型对数据预测过好，对未知数据预测很差，认为“过拟合”，过拟合通常是因为所选择模型的复杂度比真模型更高。
对于欠拟合，只需增加模型复杂度即可；
对于过拟合，常用的方法有：正则化与交叉验证。
2、正则化
结果显示过拟合， 引入正则化项(regularizer)，降低过拟合
Q ( x ) = ∑ i = 1 n ( h ( x i ) ? y i ) 2 + λ ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 Q(x)=\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2+\lambda||w||^2 Q(x)=∑i=1n?(h(xi?)?yi?)2+λ∣∣w∣∣2。
回归问题中，损失函数是平方损失，正则化可以是参数向量的L2范数,也可以是L1范数。

• L1: regularization*abs( p p p)
  
• L2: 0.5 * regularization * np.square( p p p)
  

正则化的作用是选择经验风险与模型复杂度都较小的模型
正则化符合奥卡姆剃刀原理，在所有可能选择的模型中，能够很好的解释已知数据并且十分简单才是最好的模型。

regularization = 0.0001#作为调整经验风险和正则化项关系的系数#加入正则化项的结构风险最小化 def residuals_func_regularization(p, x, y): ret = fit_func(p, x) - y ret = np.append(ret, 0.5*regularization*np.sqrt(np.sum(np.square(p))))# L2范数作为正则化项 return ret

# 最小二乘法,加正则化项def fitting2(M=0): """ M 为 多项式的最高次数 """ # 随机初始化多项式参数 p_init = np.random.rand(M+1) # 最小二乘法 p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y)) # 最小二乘法，加入正则化项 p_lsq_regularization = leastsq(residuals_func_regularization, p_init, args=(x, y))# 可视化 plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve') plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq_regularization[0], x_points), label='regularization') plt.plot(x, y, 'bo', label='noise') plt.legend() return plt.show()#M=0 plt.text(0,0.9,"M = 0")#加入文本注释 fitting2(M=0)#M=1 plt.text(0,0.9,"M = 1") fitting2(M=1)#M=3 plt.text(0,0.9,"M = 3") fitting2(M=3)#M=9 plt.text(0,0.9,"M = 9") fitting2(M=9)

【sklearn|统计学习方法（三）1-least_sqaure_method】M = 0

文章图片

M=1

文章图片

M = 3

文章图片

M = 9

文章图片

加入正则化项后，M = 9多项式的拟合效果更好，过拟合降低
3、简单交叉验证

#简单交叉验证，选择有最小预测误差的模型 from sklearn.model_selection import train_test_splitx = np.linspace(0,1,2000)#创建从0到1，20个等差间隔数列 x_points = np.linspace(0, 1, 1000)#创建从0到1，个数为1000的等差间隔数列# 加上正态分布随机噪音的目标函数的值 y_ = real_func(x)#将创建的等差数列x作为输入，得到目标函数对应的输出值 y = [np.random.normal(0, 0.1)+y1 for y1 in y_]#解析式，将创建的目标函数的输出值上，随机加入正态分布噪音（其中正态分布的均值为0，标准差为0.1）test_size = 0.10 seed = 4 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x, y, test_size = test_size, random_state = seed)#random_stste表示随机种子，为了进行可重复的训练，需要固定random_ststedef fitting3(M=0): """ M 为 多项式的最高次数 """ # 随机初始化多项式参数 p_init = np.random.rand(M+1)#来自均匀分布的长度为M+1的随机数，参数表示指定的形状，均匀分布的属于[0, 1) # 定义最小二乘法，没有加正则化 p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x_train, y_train))#来自scipy库的leastsq(),表示最小二乘函数，其中residuals_func为指定的误差函数，p_init为参数初始值，args=(x, y)为误差函数中调用的参数 #leastsq()返回拟合的参数值 print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])#返回拟合的回归系数# 可视化 plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')#拟合的M次多项式 plt.plot(x_train, y_train, 'bo', label='noise') plt.plot(x_test, y_test, 'ro', label='test') plt.legend()#显示图例#训练误差和测试误差 train_err = np.sum(residuals_func(p_lsq[0],x_train,y_train)**2)/len(x_train) test_err = np.sum(residuals_func(p_lsq[0],x_test,y_test)**2)/len(x_test) print("训练误差：",train_err) print("测试误差：",test_err) return p_lsq,train_err,test_err

# M=0，表示多项式次数为0 p_lsq_0 = fitting3(M=0)#得到的结果为欠拟合

Fitting Parameters: [-0.00254771]
训练误差： 0.5080438309671172
测试误差： 0.5064028740331827
M=0

文章图片

#M = 1 p_lsq_1 = fitting3(M=1)

Fitting Parameters: [-1.9105494 0.95545301]
训练误差： 0.20539699001835074
测试误差： 0.22087267850762224
M=1

文章图片

# M=3 p_lsq_3 = fitting3(M=3)

Fitting Parameters: [ 23.18756541 -34.78037548 12.00875189 -0.20806997]
训练误差： 0.014295575398024054
测试误差： 0.015509264503001633
M=3

文章图片

# M=9 p_lsq_9 = fitting3(M=9)

Fitting Parameters: [-3.30005845e+02 1.55625414e+03 -2.95990953e+03 2.89401400e+03 -1.57115336e+03 5.22004345e+02 -1.20865985e+02 3.11880254e+00 6.58323145e+00 -1.51227081e-02]
训练误差： 0.009914936961862256
测试误差： 0.01022899901075852
M=9

文章图片

训练误差就是模型在训练集上的误差平均值，度量了模型对训练集拟合的情况。训练误差大说明对训练集特性学习得不够，训练误差太小说明过度学习了训练集特性，容易发生过拟合。
测试误差是模型在测试集上的误差平均值，度量了模型的泛化能力。在实践中，希望测试误差越小越好。

#训练误差，测试误差与模型复杂度，这里我们将多项式次数当作模型复杂度 a = [] b = [] c = []def err(M=0): """ M 为 多项式的最高次数 """ # 随机初始化多项式参数 p_init = np.random.rand(M+1)#来自均匀分布的长度为M+1的随机数，参数表示指定的形状，均匀分布的属于[0, 1) # 定义最小二乘法 p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x_train, y_train))#来自scipy库的leastsq(),表示最小二乘函数，其中residuals_func为指定的误差函数，p_init为参数初始值，args=(x, y)为误差函数中调用的参数 #leastsq()返回拟合的参数值#训练误差和测试误差 train_err = np.sum(residuals_func(p_lsq[0],x_train,y_train)**2)/len(x_train) test_err = np.sum(residuals_func(p_lsq[0],x_test,y_test)**2)/len(x_test) return train_err,test_errfor i in range(0,20): train_err = err(M=i)[0] test_err = err(M=i)[1] a.append(i) b.append(train_err) c.append(test_err)from scipy.interpolate import spline a = np.array(a) new = np.linspace(a.min(),a.max(),300) #300 represents number of points to make between T.min and T.max b_smooth = spline(a,np.array(b),new) c_smooth = spline(a,np.array(c),new)plt.plot(new,b_smooth,label = "train_err") plt.plot(new,c_smooth,label = "test_err")plt.legend()#显示图例

文章图片

plt.plot(new,b_smooth,label = "train_err")

文章图片

plt.plot(new,c_smooth,label = "test_err")

文章图片

# M=12 p_lsq_12 = fitting3(M=12)

Fitting Parameters: [ 7.70925250e+02 -2.13948790e+03 1.47955079e+02 5.50179162e+03
-6.90542937e+03 1.62269614e+03 2.85253493e+03 -2.73110094e+03
1.10968608e+03 -2.52646390e+02 1.71394979e+01 5.98163113e+00
-9.12991970e-03]
训练误差： 0.009910459864207754
测试误差： 0.010255984175229287

文章图片

# M=3 p_lsq_4 = fitting3(M=8)

Fitting Parameters: [ 7.03218670e+01 -1.61073181e+02 3.49309068e+01 1.45531318e+02
-9.15455065e+01 5.06544960e+00 -1.03725482e+01 7.19451627e+00
-2.17477408e-02]
训练误差： 0.009917380173524877
测试误差： 0.010226245482564962

文章图片

经过简单交叉验证，认为M = 3时，模型效果最好
当模型复杂度增大时，训练误差会减少并趋向于0，测试误差会先减少，达到最小值后又增大。
4、样条插值
插值与拟合的区别：
插值曲线要过数据点，拟合曲线不一定要过数据点。
拟合，就是要得到最接近的结果，是要看总体效果。

import scipy.interpolate import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt from scipy.interpolate import interp1d#'nearest','zero'为0阶样条插值 ，' #slinear',‘linear’线性插值 相当于1阶样条插值 #'quadratic'为2阶样条插值 #'cubic'3阶样条插值,更高阶的曲线可以直接使用整数值来指定 x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in ['linear']:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

1阶样条/线性插值

文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in [ 'nearest']:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

0阶样条

文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in [ 'zero']:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

0阶样条

文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in [ 'slinear']:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

1阶样条/线性插值

文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in ['quadratic']:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

2阶样条
文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in ['cubic']:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

3阶样条
文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in [5]:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

5阶样条

文章图片

x_ = np.linspace(x.min(), x.max(), 100) fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4)) ax.scatter(x, y) for n in [9]:# 'linear', 'nearest', 'zero', 'slinear', 'quadratic', 'cubic', 5, 9 f = interp1d(x, y, kind = n) ax.plot(x_, f(x_), label= n) ax.legend() ax.set_ylabel(r"$y$", fontsize=15) ax.set_xlabel(r"$x$", fontsize=15) plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real') plt.show()

9阶样条

文章图片

参考文献：
【1】李航.统计学习方法
【2】github https://github.com/wzyonggege/statistical-learning-method/blob/master/LeastSquaresMethod/least_sqaure_method.ipynb

推荐阅读

• 

  怎样用柠檬美白牙齿 如何用柠檬美白牙齿
• 

  健康夕阳红 自检老年健康三“不”标志
• 

  塔黄的功效与作用
• 

  喝杨梅酒有什么好处？
• 

  梦回长安
• 

  FreeHand设计形态各异的盛开荷花
• 

  松下电视怎样才能打开杜比音效,松下电视机为什么会出现创维模式
• 

  动脉|2亿中国人颈动脉“长斑”？4件事若还不纠正，斑块或许会越长越大
• 

  什么面霜好？
• 

  怎么提升YY会员贡献 yy会员贡献度怎么获得
• 

  家里自己清洗洗衣机用什么方法 家庭用洗衣机清洗方法
• 

  2022湖北养老金上调方案细则 2022年湖北养老金调整最新消息
• 

  红葡萄酒的制作方法和步骤
• 

  火焰纹章风花雪月怎么结婚 火焰纹章风花雪结婚条件和方法
• 

  五一广州周边自驾车一日游,有哪些好地方推荐？
• 

  买电吉他要注意什么
• 

  信用卡无力偿还银行怎么处理？
• 

  现在做什么行业最好 2021创业首选10大行业
• 

  膀胱癌|小便时多留意，如果出现这几个症状可能是膀胱癌找上你了
• 

  博世壁挂炉故障代码和解决方法 博世壁挂炉ea故障原因

• 杭电oj——2030汉字统计
• 概率论/统计学|随机变量 的 分布函数 与 概率密度函数 的区别
• 这份史上最经典的3大学习方法，清华北大学霸都在用！
• 临床统计学学习日志
• 用python统计小说出现频率最高的词语
• iOS|iOS runtime应用整理
• Pytorch学习|sklearn-SVM 模型保存、交叉验证与网格搜索
• 12.新增腾讯的统计（以渠道来源说明）
• 机器学习|机器学习Sklearn学习总结
• Python日志_20211019_1631