排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例

目录
1、排队模型的表示
2、排队系统的衡量指标
3、排队系统的要素
顾客的输入过程
排队结构与排队规则
服务机构与服务规则
其中,到达间隔和服务时间(X,Y)具有的典型分布有
4、模型的系统运行状态参数:
泊松流到达间隔服从负指数分布:
顾客服务时间分布(负指数分布):
5、M/M/1模型:
1、模型的条件是:
2、对于M/M/1模型有如下公式:
【排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例】3、举例
6、M/M/S模型
1、模型的条件是:
2、对应M/M/S有如下公式:
3、举例
排队论 (queuing theory),或称随机服务系统理论, 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究,得出这些数量指标(等待时间、排队长度、忙期长短等)的统计规律,然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象,使得服务系统既能满足服务对象的需要,又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科,也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络、生产、运输、库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。
最初是用 3 个字母组成的符号 X/Y/Z 表示一个排队系统。其中 X 表示顾客到达时间分布,Y 表示服务时间的分布,Z 表示服务机构中的服务台的个数
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1、排队模型的表示 X/Y/Z/A/B/C
X — 顾客相继到达的间隔时间的分布;
Y — 服务时间的分布(M — 负指数分布、D — 确定时间、Ek — k 阶埃尔朗分布、G — 一般随机分布、GI—一般相互独立分布)
Z — 服务台个数;
A — 系统容量限制(默认为 ∞);
B — 顾客源数目(默认为 ∞);
C — 服务规则 (默认为先到先服务 FCFS)。
2、排队系统的衡量指标 服务队长 Ls — 正在接受服务的顾客数;期望值;
排队长 Lq — 在队列中等待的顾客数;期望值;
总队长 L = Ls + Lq — 系统中的顾客总数;期望值;
服务时间 E — 顾客在服务中消耗的时间;期望值;
等待时间 Wq — 顾客在队列中等待的时间;期望值;
总时间 Ws = E + Wq — 顾客在系统中的总逗留时间;期望值
忙期 — 服务机构两次空闲的时间间隔;
稳态 — 系统运行充分长时间后,初始状态的影响基本消失,系统状态不再随时间变化。
服务强度 :排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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3、排队系统的要素 (1)顾客输入过程;
(2)排队结构与排队规则;
(3)服务机构与服务规则。

  • 顾客的输入过程
顾客源(总体):有限/无限;
顾客到达方式:逐个/逐批; (仅研究逐个情形)
顾客到达间隔:随机型/确定型; <<<< X
顾客前后到达是否独立:相互独立/相互关联;
输入过程是否平稳:平稳/非平稳;(仅研究平稳性)
注:其中顾客到达间隔满足如下条件,则称为泊松流(满足泊松分布):
(1) 在不相互重叠的时间区间内,到达顾客数相互独立(无后效性);
(2) 对于充分小的时间间隔排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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内,到达1个顾客的概率与t无关,仅与时间间隔成正比 (平稳性) ;
(3) 对于充分小的时间间隔排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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,2个及以上顾客到达的概率可忽略不计 (普通性)。
  • 排队结构与排队规则
顾客排队方式:等待制/即时制(损失制);
排队系统容量:有限制/无限制;
排队队列数目: 单列/多列;
是否中途退出: 允许/禁止;
是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
  • 服务机构与服务规则
服务台(员)数目; 单个/多个; <<<< Z
服务台(员)排列形式; 并列/串列/混合;
服务台(员)服务方式; 逐个/逐批; (研究逐个情形)
服务时间分布; 随机型/确定型; <<<< Y
服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳; (研究平稳情形)
其中,到达间隔和服务时间(X,Y)具有的典型分布有:
泊松分布 M
负指数分布 M
k阶爱尔朗分布 Ek
确定型分布 D
一般服务时间分布 G
归纳以上可得,经典排队系统模型(X,Y,Z,A,B,C)可表示成为:
  • M/M/1,M/D/1,M/ Ek /1
  • M/M/c, M/M/c/∞/m,
  • M/M/c/N/∞ ,。。。
注:排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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,M、D为上述几种分布。
4、模型的系统运行状态参数: 系统状态 N(t) —— 指排队系统在时刻t时的全部顾客数N(t), 包括“排队顾客数”(Lq)和“正被服务顾客数”(Ls);
系统状态概率:
(1)瞬态概率Pn(t)
——表示时刻t系统状态 N(t)=n 的概率(也就是顾客到达数为n的概率分布);
(2)稳态概率Pn
—— 排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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——一般排队系统运行了一定长的时间后,系统状态的概率分布不再随时间 t变化,即初始时刻(t=0)系统状态的概率分布(Pn(0) ,n>>0)的影响将消失。
公式推导过程:
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总结上述
可知泊松流到达间隔服从负指数分布:
  • 若顾客到达间隔T的概率密度为
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    则成T服从负指数分布,分布函数为:
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  • 若顾客流是泊松流时,顾客到达的时间间隔服从上述负指数分布。
  • 其中,E[T]=1/λ ; Var [T]=1/λ2 ; σ [T]=1/λ
  • λ 为单位时间顾客到达数的期望,称为平均到达率;1/λ 为平均间隔时间。
顾客服务时间分布(负指数分布)
  • 对一个顾客的服务时间Ts,等价于相邻两个顾客离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布,其概率密度函数为:排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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    分布函数为:
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    则 E[Ts]=1/μ ; Var [Ts]=1/ μ 2 ; σ [Ts]=1/ μ
  • E[Ts]=1/μ :每个顾客的平均(期望)服务时间; μ:单位时间服务的顾客数,平均(期望)服务率;
  • 其中μ 为平均服务率,1/μ 为平均服务时间。
5、M/M/1模型: 1、模型的条件是: 1、输入过程――顾客源是无限的,顾客到达完全是随机的,单个到来,到达过程服从泊松分布,且是平稳的;
2、排队规则――单队,且队长没有限制,先到先服务;
3、服务机构――单服务台,服务时间的长短是随机的,服从相同的指数分布 。
2、对于M/M/1模型有如下公式:
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注:(橙色标注为可做评价类指标)
  • 排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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    :N>k的概率为P;
  • N(t):系统顾客数;
  • P0:系统处于没有顾客来到要求服务的概率
  • 系统负荷水平 ρ :它是衡量服务台在承担服务和满足需要方面能力的尺度;
  • 总队长Ls:系统中排队等待服务和正在服务的顾客总数,其平均值;
  • 队长Lg:系统中排队等待服务的顾客数,其平均值;
  • 逗留时间Ws:一个顾客在系统中停留时间,包括等待时间和服务时间,其平均值;
  • 等待时间Wg:一个顾客在系统中排队等待时间,其平均值。
  • λ为平均到达率,1/λ 为平均间隔时间;
    μ为平均服务率,1/μ 为平均服务时间。
3、举例 某医院急诊室同时只能诊治一个病人,诊治时间服从指数分布,每个病人平均需要15分钟。病人按泊松分布到达,平均每小时到达3人。试对此排队队系统进行分析。
(1)先确定参数值:这是单服务台系统,有:
λ=3人/hμ =60/15=4人/h
故服务强度为:
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(2)计算稳态概率:P0=1-ρ,也就是急诊室空闲的概率;
繁忙的概率服从二项分布:ρ=1-P0=0.75
(3)急症室总病人数平均值:排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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急症室排队等待人数:排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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病人在急症室逗留时间:排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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病人平均等候时间:排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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6、M/M/S模型 1、模型的条件是:
  • 此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台, 各服务台的工作相互独立,服务率相等,如果顾客到达时,S个服务台都忙着,则排成一队等待,先到先得(FCFS)服务的单队模型;
  • 可以看做是s个M/M/1模型组合。
  • 整个系统的平均服务率为sμ,ρ*=λ/sμ,(ρ*<1)为该系统的服务强度。
2、对应M/M/S有如下公式: (1)状态概率:
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(2)主要运行指标:
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(3)系统状态排队论|排队论 (queuing theory)推论与举例
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的概率:
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3、举例 某医院挂号室有三个窗口,就诊者的到达服从泊松分布,平均到达率为每分钟0.9人,挂号员服务时间服从指数分布,平均服务率每分钟0.4人,现假设就诊者到达后排成一队,依次向空闲的窗口挂号,显然系统的容量和顾客源是不限的,属于M/M/S型的排队服务模型。求:该系统的运行指标:Po、Lq、L、W、Wq、P(N≥3)。
由题可得:s=3;λ=0.9人/min;μ=0.4人/min;
ρ=0.9/0.4=2.25;ρ*=λ/sμ=ρ/s=2.25/3=3/4
代入上列公式可得:Po、Lq、L、W、Wq、P。
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