【#|平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1】这不能算是一道概率题啊大哥！
两个特例 特例1： x + y < 1 x+y < 1 x+y<1——两个随机数之和小于1
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结果是紫色部分，为 1 / 2 1/2 1/2
特例2： x + y + z < 1 x+y+z< 1 x+y+z<1——三个随机数之和小于1
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结果为深底下面的，占整个体积的 1 / 6 1/6 1/6
锥 体 积 = 1 / 3 ? 底 面 积 ? 高 = 1 / 3 ? 1 / 2 ? 1 ? 1 锥体积=1/3*底面积*高=1/3 * 1/2 * 1 *1 锥体积=1/3?底面积?高=1/3?1/2?1?1
这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：
∫ 0 1 x 2 2 d x = 1 / 6 \int_0^1 \frac{x^2}{2} dx = 1/6 ∫01?2x2?dx=1/6
推广 四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的 “体积”，它的 “底面” 是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”
∫ 0 1 ( x 3 ) ? 1 / 6 d x = 1 / 24 \int_0^1 (x^3)*1/6 dx = 1/24 ∫01?(x3)?1/6dx=1/24
依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 – 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
( 1 – 1 / n ! ) – ( 1 – 1 / ( n ? 1 ) ! ) = ( n ? 1 ) / n ! (1 – 1/n!) – (1 – 1/(n-1)!) = (n-1)/n! (1–1/n!)–(1–1/(n?1)!)=(n?1)/n!
因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为
∑ n = 2 ∞ n ? ( n ? 1 ) / n ! = ∑ n = 1 ∞ n / n ! = e \sum_{n=2}^\infty n * (n-1)/n! = \sum_{n=1}^\infty n/n! = e n=2∑∞?n?(n?1)/n!=n=1∑∞?n/n!=e
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