题目：二次规划基础：二次型、正定矩阵、海塞矩阵
学习二次规划时，需要知道一些基础知识方能看懂，二次型、正定矩阵和半正定矩阵是绕不开的概念，海塞矩阵也是经常要用的名词，所以本篇首先学习一下这三个概念。
1、二次型（文献【1】第127-128页）
文章图片
文章图片
文章图片
文章图片
主对角线上的元素分别为x2,y2,z2的系数（分别为1，0，3），第1行第2列和第2行第1列两个元素相等，均为xy系数的一半（=-2），第1行第3列和第3行第1列两元素相等，均为xz系数的一半（=0），第2行第3列和第3行第2列两元素相等，均为yz系数的一半（=1/2）。
2、正定矩阵（Positive Definite Matrix）（文献【1】第133页）
文章图片
正定矩阵一定是非奇异的，如何判断对称阵是正定的呢？
文章图片
如果将正定矩阵的条件xTAx > 0弱化为xTAx≥ 0，则称对称阵A是半定正的。
3、海塞矩阵（HesseMatrix）（文献【2】）
Hesse矩阵最早于19世纪由德国数学家LudwigOtto Hesse提出，并以其名字命名。Hesse矩阵常用于牛顿法解决优化问题。
Hesse矩阵的定义如下：
文章图片
【最优化方法|二次规划基础（二次型、正定矩阵、海塞矩阵）】
如果函数f是连续的，则它的Hesse矩阵一定是对称阵：
文章图片
得到函数f的Hesse矩阵有什么用呢？Hesse可以用于多元函数极值的判定。
文章图片
下面给两个求Hesse矩阵的例子（文献【3】）：
第一个例子：
文章图片
第二个例子：
文章图片
文章图片
参考文献：
【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社，2007.
【2】Cqbmax. 黑塞矩阵，百度百科，2015-12-18.
【3】春天的下一季. 方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式，百度文库，2015-03-24.
推荐阅读
- 松翰单片机--SN8F5702学习笔记（六）TIMER2
- 松翰单片机--SN8F5702学习笔记（五）PWM
- 阿里开发规范--笔记（二）
- ＂按位取反加一＂的新理解——在FFT频分析后如何获得其频率分量