正定矩阵的定义 :【使用chol()分解正定矩阵(positive|使用chol()分解正定矩阵(positive definite matrix), Choleskey】一个n×n的实对称矩阵
文章图片
是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zT
文章图片
z > 0。其中zT表示z的转置。
对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)
文章图片
是正定的当且仅当对于每个非零的複向量z，都有z*
文章图片
z > 0。其中z*表示z的共轭转置。由于
文章图片
是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的複向量z，z*
文章图片
z必然是实数，从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。
使用chol可以分解为上三角和下三角矩阵. 对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，即：A=P'P，其中P为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()进行Choleskey分解. 例子 :
> a <- diag(3)+1
> a
[,1] [,2] [,3]
[1,]211
[2,]121
[3,]112
> chol(a)
[,1][,2][,3]
[1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068
[2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483
[3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005
> t(chol(a))
[,1][,2][,3]
[1,] 1.4142136 0.0000000 0.000000
[2,] 0.7071068 1.2247449 0.000000
[3,] 0.7071068 0.4082483 1.154701验证 : A=P'P
> crossprod(chol(a))
[,1] [,2] [,3]
[1,]211
[2,]121
[3,]112
> t(chol(a)) %*% chol(a)
[,1] [,2] [,3]
[1,]211
[2,]121
[3,]112若矩阵为对称正定矩阵，可以利用Choleskey分解求行列式的值，如：
> prod(diag(chol(A))^2)
[1] 5
> det(A)
[1] 5若矩阵为对称正定矩阵，可以利用Choleskey分解求矩阵的逆，这时用函数chol2inv()，这种用法更有效。如：
> chol2inv(chol(A))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
[2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
[3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
[4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8
> solve(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
[2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
[3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
[4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8[参考] 1.http://zh.wikipedia.org/zh/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5
