感知机算法收敛性证明及Python代码实现算法

转载来自：https://blog.csdn.net/deramer1/article/details/87928860
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一、感知机原理
感知机是最简单的线性二分类模型，如果要处理的数据是线性可分的，则该模型能取得很好的效果，如果数据不是线性可分的，则该模型不能取得很好的效果。以二维平面为例，如果要分类的点，能被一条直线分开，直线的一侧是正类，直线的另一侧是负类，则说明数据是线性可分的。如果数据需要一个圆来分开则说明数据不是线性可分的，曾经感知机因为不能处理异或问题，而被人批判，导致神经网络的研究停滞了几十年。
1.1 感知机形式
感知机就是为了确定一条直线WX+b，让直线的一侧为正类，直线的另一侧是负类。当WX+b运算大于0时为+1，WX+b运算小于0时为-1，为此引入了sign函数。

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1.2感知机学习过程
感知器的训练过程就是确定W,b，从而确定一个平面分离正类和负类。训练过程中，我们需要注意的是那些被误分类的点，比如，本来是正类，却被感知机分成了负类。下面的式子是判断该点是否被误分类：

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如果WX+b>0,y为-1，则整个式子大于0，该点被误分类。如果WX+b>0,y为+1，整个式子小于0，被正确分类。
如果不考虑1/||W||，上面的式子则是感知机的损失函数。如果有N个点，则损失函数为如下：
【感知机算法收敛性证明及Python代码实现】
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对于给定的训练集T，求解参数W,b的过程就是求解损失函数极小值的过程。

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感知器的算法是由误分类确定的，首先选取一个超平面W0,b0,采用随机梯度下降法最小化上面的式子，梯度为：

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整个感知器的运算流程如下：

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每当有一个点被分类错误的时候，就会更新算法。我们知道w控制的是直线的斜率，b控制的是直线的平移。对w，b进行更新就是控制直线的旋转和平移，而η控制的是旋转和平移的角度。
1.3感知机收敛性证明

上面推导的时候，少加了一个注解，现补充如下：

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1.4感知机无法解决异或问题

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二、感知机编码实现

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris

我们用的数据集是iris数据集，这个数据集是用来给花做分类的数据集，每个样本包括了花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度四个特征，通过这四个特征来将花分为山鸢尾、变色鸢尾还是维吉尼亚鸢尾。本次我只抽取一部分数据做二分类。

#读取iris数据集，并将数据，标签存入DataFrame中，
iris = load_iris()
raw_data = https://www.it610.com/article/iris.data
data = https://www.it610.com/article/pd.DataFrame(raw_data,columns=iris.feature_names)
data['label'] = iris.target

显示data数据集如下所示：

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data_array = np.array(data.iloc[:100,[0,1,-1]])
X,Y = data_array[:,:-1],data_array[:,-1]
Y = np.array([1 if i ==1 else -1 for i in Y]) #将标签为0,1，变为-1，+1

将data中第一列、第二列作为特征存入X中，data最后一列作为标签存入Y中。

plt.scatter(X[:50,0],X[:50,1],label='0')
plt.scatter(X[50:100,0],X[50:100,1],label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
plt.show()

X中数据显示如下

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#定义sign函数
def sign(X,W,b):
return np.dot(W,X) + b
#遍历数据集
def train(X,Y,W,b,learning_rate=0.1):
for i in range(len(X)):
if(Y[i]*sign(X[i],W,b)<=0):
W = W + learning_rate*Y[i]*X[i]
b = b + learning_rate*Y[i]
return W,b
将数据集遍历1000遍，每100次打印一下W,b值
W = np.zeros([1,2])
b = 0
for i in range(1000):
W,b = train(X,Y,W,b)
if(i%100==0):
print(i,W,b)

x_ = np.linspace(4,7,10)
y_ =-(W[0][0]*x_ + b)/W[0][1]
plt.plot(x_,y_)
plt.scatter(X[:50,0],X[:50,1],label='0')
plt.scatter(X[50:100,0],X[50:100,1],label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
plt.show()

将超平面画出来，如下