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矩阵运算(矩阵运算公式大全)
在slam和sfm领域，恢复摄像机姿态和三维点的坐标是一项重要的任务 。场景的3D点与不同相机的图像坐标之间的关系称为极线几何关系 。描述对极几何关系的矩阵通常包括基本矩阵、本质矩阵和单应矩阵 。求解矩阵的基本算法有7点法和8点法 。求解矩阵的基本算法有五点法和八点法 。求解单个矩阵的算法是DLT算法 。
在极线几何关系矩阵中，单应矩阵解法、基本矩阵和本质矩阵八点法统称为线性解法，而基本矩阵七点法和本质矩阵五点法称为非线性解法 。特别是本质矩阵的五点法非常复杂 。大部分教材都是先计算基本矩阵，然后利用内参和基本矩阵求解本质矩阵(比如orb2-slam中本质矩阵的求解) 。5点法的求解涉及到10次多项式的求解，所以相关资料很少(包括波恩大学的摄影测量课程，5点法求解E矩阵的过程也是直接跳过) 。
关于极线几何(F-7点，F-8点，E-8点，H-DLT)算法的其他具体介绍，请关注我的课程《三维视觉重建的关键技术与实现——colmap代码分析》的视频 。具体课程介绍:
https://app 0s 6 nfqrg 6303 . H5 . xiaoe . type = 3
二、算法介绍
(1)先决条件
本质矩阵有5个自由度，所以最小支撑点是5对匹配点 。
(2)算法流程
首先，通过参考F矩阵的线性表达式 ， 得到本质矩阵元素的表达式如下:
填充元素可用:
步骤1:提取零空间的四个特征向量
因为未知数个数为9 ， E的自由度为5 ， 所以上述齐次方程的解有四个基本解系，那么E矩阵的通解就变成了基本解系的线性组合，即:
因为E本身的尺度不是唯一的，所以为了保持通用性，如果c_{w}=1，未知元素就变成[c_{x}，c_{y}，c _ { z }]；
代码如下:
第二步:添加约束方程
将公式(1)带入(2)和(3)以获得九个三元三次方程 。
第三步:使用高斯-乔丹消去法
因为三元三次解很难求解，所以可以建立等价方程，可以改成Aj = 0；其中矩阵A的大小是10*20 ， J是未知数C _ {x}、C _ {y}和C _ {z}的20个组合 。以下矩阵可通过使用高斯乔丹减少A来获得:

将公式(4)中与Z有关的所有多项式代入公式(5)，可以得到一个关于Z的一元10次方程 ， 高斯约化示意图如下:
注:将Mx=0降为[I B]x=0 。
代码如下:
步骤4:求解E矩阵
根据步骤3中得到的每一个c_{z} ， 可以得到一组c _ {x}和c _ {y}，将其带入(1)可以得到e矩阵:
参考资料:
1.直接相对定向的最新进展[J].斯泰乌斯 。ISPRS 2006
2.五点相对位姿问题的有效解法[J].德尼斯特 。EEE·PAMI，26(6)，2004年
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