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求矩阵的逆的三种方法 如何求矩阵的逆矩阵

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数学预备知识必修:一元一次，一元二次方程的解法，初中代数基础 。
将要使用的标记
读者:高三学生、高中生、专科生等数学爱好者 。解释了基本的矩阵运算，如矩阵、增广矩阵、矩阵乘法、转置、行列向量和矩阵求逆 。用线性方程导入 。力求推理清晰，核心点明确 。下一篇文章会有矩阵和几何变换 。
一次方程的矩阵形式一元线性方程
写为:
二元线性方程组
解不能写成一元方程那么简单 。我们通过例子来看一下 。
一个叫做2X2的矩阵
称为列向量 ， 常数项也可以表示为列向量 。
利用矩阵和列向量的概念，我们可以把两个变量的方程和一个变量的方程统一到同一形式 。二元方程写成了
形式与一元方程相同 。为了使解决方案在形式上相同，必须有
如果AX可以对应方程，就需要把A的第一行的每一个元素和X的每一个元素加起来作为第一个方程的左边 ， 把A的第二行的每一个元素和X的每一个元素加起来作为第二个方程的左边 。代数上，列向量将形成如下:
这是矩阵和列向量相乘的基本规则 。只需记住行和列相乘，然后相加 。
1.计算
我们发现，
乘以任何列向量，结果保持不变 。我们把这种主对角线都是1，其他元素都是0的特殊矩阵称为矩阵，类似于数字1 。记得我吗
复制
在那里
然后就可以正式写出解方程的过程了 。
这个A-1称为矩阵a的逆矩阵
如果把X ， C展开成三元列向量，A展开成3x3矩阵，上述过程仍然可以使用，矩阵与列向量的乘法法则不变 。为了使我们介绍的方案具有可操作性，我们需要矩阵的逆矩阵、矩阵与列向量的乘法、矩阵与矩阵的乘法 。接下来，我们来谈谈这些概念和方法 。
列向量和行向量是一个列向量，我们也可以定义一个行向量 。
矩阵转置WW可以看做W行和W列对齐的形成 ， 也叫换位 。对于一个矩阵A，我们也可以定义它的转置 ， 也是行列对齐 。
向量的数积我们可以定义行向量和列向量的数积，也称为内积，如下所示
矩阵乘法a是一个矩阵，A-1当然也是一个矩阵 。通常，两个2×2矩阵A、B的乘积可以这样展开 。
把B想象成两个列向量水平拼接组成的数数组，把A想象成两个行向量垂直拼接组成的数数组 。
AB的乘积也是一个2x2矩阵 。然后，AB的第1行和第1列中的元素是A的第一行向量和b的第一列向量的乘积 。第1行和第2列中的元素是A的第一行向量和b的第二列向量的乘积 。第二行中的第一个元素是A的第二行向量和b的第一列向量的乘积 第二行是A的第二行向量和B的第二列向量的乘积，我们也可以如上所述定义nxn的两个矩阵A和B的乘积 。乘积的第I行和第J列中的元素是
矩阵乘法符合结合律 。
但是
因此
矩阵的乘法不再符合交换律 。例如
矩阵转置的一些性质根据换位的定义，有
以下证明
最后，我们讨论矩阵求逆的方法，这是本文的重点和难点 。
矩阵求逆矩阵的核心思想之一就是用矩阵作用于矩阵 。
会让x，y交换 ， 这就是矩阵的作用 。设r是nxn的矩阵 ， 如果去掉对角线上的元素
其他位置为0 。
作用于任意一个nxn矩阵会使其I行和J行互换 。主对角线都是1，I行，J列和其他元素都是1和0的矩阵 。
矩阵作用于nxn会导致第I行是第I行和第J行的对位之和，其余不变 。如果
在第I行中，出现了第I行和第J行之间的对齐差异 。
将矩阵I的元素变为
其他主对角线元素仍然是1 ， 所以如果作用在任意一个nxn矩阵上，矩阵第I行的每个元素都会变大a倍，其余保持不变 。这样，我们就可以精心设计一套矩阵R1、R2、...，RN来把nxn的一个矩阵A变成一个矩阵 ， 我们每乘以一个矩阵，都只是在模拟消元法解方程的步骤 。
所以我们有
也就是说，我们可以按照下面的程序求矩阵的逆矩阵 。
第一步，将nxn的矩阵A展开成一个新的矩阵，前面n列不变，后面n列相加，相加的n列正好构成一个矩阵 。这个扩展的新矩阵称为原矩阵的增广矩阵 。
第二步 ， 任何一行中的所有元素都可以乘以一个数，再除以一个数 。
你也可以增加或减少任意两行来替换其中任何一行 。
第三步，如果前n列已经是矩阵，或者主对角线除以1是0，其他地方的元素都是0，则过程终止，否则重复第二步 。
第四步，如果前面n列已经成为一个矩阵，那么后面n列形成的矩阵就是a的逆矩阵 。

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