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一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义

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傅立叶变换的意义(本文解释傅立叶变换！)
学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底不好的同学一听到傅里叶变换就头疼 。其实很多数学功底很好的数字信号处理专业的学生 ， 并不一定理解傅立叶变换的真正含义，学以致用！
其实傅里叶变换的相关运算已经很成熟了，有现成的函数可以调用 。对于大多数只需要用好傅里叶变换的同学来说，重要的不是去死记那些枯燥的公式，而是去理解傅里叶变换的意义和作用 。
本文试图在没有数学公式的情况下，用通俗易懂的语言来阐述傅里叶变换的含义、意义和方法，希望大家能更接近傅里叶变换，并善加利用 。
一个
伟大的傅立叶，巨大的争议！
1807年 ， 39岁的法国数学家傅立叶在法国科学学会上发表了一篇论文(此时不能发表，但21年后会发表) 。在论文中，有一个当时极具争议的论断:“任何连续的周期信号都可以由一组合适的正弦曲线组成” 。
这篇论文引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注！
58岁的拉普拉斯同意傅立叶的观点 。
71岁的拉格朗日(看起来像是现任院士，不必退休)反对，认为“正弦曲线不能组合成有棱角的信号” 。屈服于拉格朗日的声望，这篇论文直到朗格朗死后15年才发表 。
后来我们科学家证明傅立叶和拉格朗日都是对的！
诚然 ， 有限数量的正弦曲线无法组合成一个有棱角的信号 。然而，从能量的角度来看，无限数量的正弦曲线的组合可以非常无限地逼近具有棱角的信号 。
2
傅立叶变换的定义
【一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义】后世扩展了傅立叶的论断:满足一定条件的函数可以表示为三角函数(正弦和/或余弦函数)或其积分的线性组合 。如何得到这种线性组合？这就需要傅里叶变换 。
必须是什么条件？
这是数学家研究的问题 。对于大多数从事电参数测量的工程师来说，不需要关注这个问题，因为电参数测量中遇到的所有周期信号都满足这个条件 。
这样，在电参数的测量和分析中 ， 我们可以用更通俗的话来描述傅立叶变换:
任何周期信号都可以分解成DC分量和一组幅度、频率和相位不同的正弦波 。分解方法是傅立叶变换 。
而且这些正弦波的频率符合一个规律:它是某个频率的整数倍 。这个频率称为基频，其他频率称为谐波频率 。如果一次谐波的频率是基波频率的n倍，则称为n次谐波 。DC分量的频率为零，是基频的零倍 ， 也可称为零次谐波 。
三
傅立叶变换的意义
1.为什么需要傅里叶变换？
傅立叶变换是信号描述的需要 。
只要能反映信号的特征 ， 描述方法越简单越好！
信号的特征可以用特征值来量化 。
所谓特征值 ， 是指能够定量描述波形某一特征的数值 。为了全面描述波形，可能需要多个特征值 。
比如正弦波，完全可以用振幅和频率来描述 。方波完全可以用三个特征值来描述:幅值、频率和空(单周期信号不考虑相位) 。
用示波器观察实时波形可以得到上述特征值，称为时域分析法 。其实很多人习惯了时域分析 。当他们想知道一个信号时，他们会说:“让我看看波形！”
但是 ， 除了一些常见的规律信号 ， 大多数时候 ， 即使给你看波形，你也看不懂！
不说复杂，看看下面的波形 ， 能看到路吗？
我们能看到的只是一个类似正弦波的波形，它的振幅是按照一定规律变化的 。
如何记录这个波形的信息？尤其是量化记录！
很难！
实际上，上述波形经过傅里叶变换后，一个40Hz的正弦波叠加在一个50Hz的正弦波上，两者的幅度是不同的 。40Hz的幅度越大，波动幅度越大 ， 波动频率为10Hz的差频(三相异步电动机在叠频温升试验时的电流波形) 。
看另一个看似简单的波形:
这个波形有点像正弦波 ， 但比正弦波更尖锐，俗称“峰波”，在变压器空负载电流输入波形中更常见 。
我们很难准确量化正弦波和正弦波的区别 。
傅里叶变换后，得到以下频谱(振幅频谱):
包括3，5，7，9次谐波，一目了然！
傅立叶变换是一种信号分析方法 。让我们对信号的组成和特征进行深入的定量研究 。用频谱(包括振幅谱、相位谱和功率谱)的方式准确定量地描述信号 。
这是傅立叶变换的主要目的 。

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