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一文讲明白傅里叶变换！ 傅里叶变换的意义( 二 )

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现在，我们知道傅立叶变换的目的了 。剩下的问题是:
2.为什么傅里叶变换会把一个信号分解成正弦波的组合，而不是方波或三角波？
事实上，如果张三能够证明任何信号都可以分解成方波的组合，那么这种分解方法就可能被称为张三变换；李斯可以证明任何信号都可以分解成三角波的组合，分解方法也可以叫李斯变换 。
傅立叶变换是一种信号分析方法 。既然是分析方法，那它的目的应该是让问题更简单，而不是更复杂 。傅立叶选择了正弦波 ， 而不是方波或者其他波形 ， 这正是它的伟大之处！
正弦波有一个其他任何波形(除了恒定的DC波形)都不具备的特性:当正弦波输入到任何线性系统时 ， 都是以正弦波的形式出来，只改变幅度和相位 ， 即当正弦波输入到线性系统时，不会产生新的频率分量(当变频器等非线性系统时会产生新的频率分量，称为谐波) 。线性系统的幅频特性可以通过输入单位幅度不同频率的正弦波，记录输出正弦波的幅度与频率的关系得到 ， 而输出正弦波的相频特性可以通过记录相位与频率的关系得到 。
线性系统是自动控制研究的主要对象 。线性系统有一个特点:多个正弦波叠加后输入一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加 。
也就是说，只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道系统对任何输入信号的响应 。
这就是傅立叶变换的主要意义！
四
傅立叶变换怎么求？
文章开头说有成熟的函数调用具体的傅里叶变换 。本文只讲述如何理解傅立叶变换的思想 。如果掌握了这个思路，就不需要背公式，也不需要调用任何函数，自己就可以做一个简单的程序 。就算不会编程，只要学过三角函数，至少也能理解傅里叶变换的过程 。
傅立叶的伟大不在于如何进行傅立叶变换，而在于“任何连续的周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组成”的伟大结论 。
知道了这个论断，只要知道正弦函数的基本特征，变换并不难，不用背公式就能实现傅里叶变换！
正弦函数有一个特性，叫做正交性 。正交性是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的共周期内积分等于零 。
这是一个非常有用的功能 。我们可以利用这个特性设计一个检测器(以下简称为检测器A ),如下所示:
探测器A由一个乘法器和一个积分器组成 。乘法器的一个输入是已知频率f的单位振幅正弦波(以下简称标准正弦信号f)，另一个输入是待转换的信号 。检测器A的输出仅与待转换信号中频率为f的正弦分量的幅度和相位有关 。
待转换的信号可能包含也可能不包含频率为F的分量(以下简称F分量)，简而言之 ， 它可能包含各种频率分量 。总之，要转换的信号是未知的，可能是复杂的！
没关系 。我们先来看看要转换的信号是否含有F成分 。
因为其他频率分量和标准正弦信号F的乘积的积分都等于零 ， 所以检波器A可以当作不存在！通过检波器A后，输出只有一个与F分量有关的量，等于待转换信号中F分量与标准正弦信号F的乘积的积分 。
简单的结论是:
如果输出不等于零，则输入信号包含F分量！
这个输出是F分量吗？
回答:不一定！
正弦波还具有以下特征:
同频率的正弦波，当相位差为90°(正交)时，一个周期内乘积的积分值等于零；相位相同时，积分值达到最大，等于它们有效值的乘积；当相位相反时，积分值达到最小值，等于它们有效值的乘积 。
我们知道标准正弦信号F的初相位为零，却不知道F分量的初相位！如果F分量与标准正弦信号F之间的相位差正好为90°(或270°)，则检波器A的输出等于零！因此，我们设计了另一个探测器B:
检波器B和检波器A的区别在于，检波器B用标准余弦信号F(与标准正弦信号A有90°相位差)代替滤波器A中的标准正弦信号F 。如果要转换的信号包含F分量，则检测器A和检测器B的至少一个输出不等于零 。
利用三角函数的基本知识 ， 可以证明探测器A和探测器B的输出信号的幅值的平方根等于F分量的幅值，而与F分量的初相位无关 。而检波器B和检波器A的振幅之比等于F分量初始相位的正切 ， 以此类推……就可以得到F分量的相位 。
然后我们把标准正弦信号F和标准余弦信号F的频率替换成我们关心的任意频率，就可以得到输入信号的各种频率成分 。如果知道输入信号的频率，把这个频率作为基频f0，用f0、2f0、3f0依次替换标准正弦信号F和标准余弦信号F的频率，那么就可以得到输入信号的基波、二次谐波和三次谐波 。

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