【π真的是无理数吗？不能算出准确数值吗？】首先 。π是无理数 。不能用分数/有限小数/循环小数表示出准确数值 。这个性质是通过严谨的数学证明的 。而不是说“受限于当前技术实力我们做不到”之类的理由 。
要解决这个问题 。首先是搞清楚 。什么事无理数 。按照定义：
无理数 。也称为无限不循环小数 。不能写作两整数之比的实数 。
之后思路就很显然：假设π是有理数 。表示为两个整数的商 。然后进行反证 。
假设π是有理数 。则π=a/b 。（a,b为自然数）令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)若0<x<a/b,则0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)0<sinx<1以上两式相乘得：0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)当n充分大时 。,在[0 。π]区间上的积分有0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）又令：F(x)=f(x)-f\"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)由于n!f(x)是x的整系数多项式 。且各项的次数都不小于n 。故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数 。因此 。F(x)和F(π)也都是整数 。又因为d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx=F\"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx=F(x)sinx+F(x)sinx=f(x)sinx所以有：∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx] 。（此处上限为π 。下限为0）=F(π)+F(0)上式表示∫f(x)sinxdx在[0 。π]区间上的积分为整数 。这与（1）式矛盾 。所以π不是有理数 。又它是实数 。故π是无理数
以上证明用到了很多微积分与不等式的知识 。
但是值得注意的是 。π虽然是一个无理数 。或者说无限不循环小数 。但是这个数的每一位都是可计算的 。或者说 。π是一个可计算数 。经典算法如BBP算法：
文章插图
这一算法由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表 。借助以上公式 。我们可以轻而易举得计算π的任意有限位上的数字 。虽然这个算法并不是最高效的计算π值的方法 。但是由于这个算法可以计算任意的第n位而不需要计算前n-1位的特点 。这个算法被广泛应用在诸如对π值结果的验证 。分布式π值计算等领域 。这些对检验机器浮点运算性能 。测试分布式计算的稳定性与效能等 。都有很大帮助 。这个算法算出的π是基于16进制的 。可以轻易转化为2进制 。
另外 。π还是个超越数 。所谓超越数 。就是不可能满足任何整系数代数方程的数 。与π类似的超越数还有自然对数e 。还有希尔伯特的猜想（已经被证明）：a是不等于0和1的代数数,b是无理代数数 。则a^b是超越数 。超越数的理论之后也成为了证明“尺规作图三大问题 。即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题都是尺规不能问题”的关键 。
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