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有理数和无理数都是无穷多的,那么究竟是无理数多还是有理数多,能说清吗？

生活知识经验知识


首先证明 。任意两个可数集的合集仍为可数集 。
设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合
也就是
A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ...
分别与自然数相对应
1 2 3 ... 1 2 3 ...
则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可与自然数一一对应
a1 b1 a2 b2 a3 b3 ...
1 2 3 4 5 6 ...
所以两个可数集的合集是可数集 。
下面证明有理数是可数集 。也就是有理数和自然数一样多 。
有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b)
因为a为整数 。b为不为0的整数 。所以a、b都是可数的 。
设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...}
因为b是可数的 。所以Ca集合也是可数的 。
设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...}
同上 。Cb也是可数集合 。
根据前一证明 。两个可数集的合集可数 。所以Ca与Cb的合集C为可数集合 。即有理数为可数集 。所以有理数和自然数一样多 。
然后证明 。实数集是不可数的 。
设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数 。
假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,...
则H=0.42347635...
假设0和1间的所有实数是可数的 。
设它的集合X={x1,x2,x3,...}
x1 x2 x3 x4 x5 ....
1 2 3 4 5 ....
设a和x1小数点第一位不同
b和x2的小数点第一位不同
c和x3的小数点第一位不同
……
根据已设条件 。无理数H小数点后每一位都在1-8之间 。
也就是H不可能为0.0000000....=0 或者 0.999999999999...=1
所以H也在0和1之间
又因为 a和x1小数点第一位不同
b和x2的小数点第一位不同
c和x3的小数点第一位不同
……
所以H不可能出现在X集合里 。也就是H不在01之间
由此出现前后矛盾 。01之间的实数应为不可数 。
所以实数也是不可数的 。
最后证明无理数是不可数的 。
根据前面的证明过程 。实数分为有理数和无理数 。已证明实数集不可数而有理数集可数
所以无理数不数
故无理数比有理数多
其他观点：
实变函数论里的知识 。无理数的个数等于2的有理数个数的次幂 。前者是阿列夫 。后者是阿列夫零 。
其他观点：
【有理数和无理数都是无穷多的,那么究竟是无理数多还是有理数多,能说清吗？】肯定无理数多 。因为无理数包含了有理数 。假如只有2的平方根为无理数 。那么无数理至少比有理数多一个 。有理数好比颗粒 。再小也是颗粒 。无理数是气体 。可以渗透颗粒中任意细小的间隙 。

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