在这之后，人们在关于自然数的开方运算中发现:有无数个无限不循环小数陆续出现，数学又发展到了无理数阶段 。比如在研究圆周率π的过程中，人们通过计算，发现圆的周长与直径的比值是一个固定值，且是无限不循环小数，又如，对于最简单的开方开不尽的数√2，人们也是在求解诸如x^2=2的方程的过程中，发现了这个解也是一个无限不循环小数 。然而，人们在研究无理数的过程中，通过把适用于有限数(整数，有限小数)的运算法则(加减乘除、乘方，开方等)硬套在一切实数的范围内，因而出现了后来的不断变化下去的无限循环和不循环小数！无形中混淆了朝着给定的任意大的正数或0无限趋近的变量与现实世界的物体的具体的、有限的各种常量的概念！即一个具体的常数怎么可能是变化过程或变化趋势呢？？？所有的数字只能是有限的数！所以，无理数只能在我们的头脑中生成，它和无限循环小数一样，在现实中根本不存在！这也能解释为什么古希腊数学家毕达哥拉斯坚决不承认无理数的存在！也能解释为什么德国著名物理学家普朗克较精确地算出了长度量子(最小的长度值)，即普朗克长度，约为1.6×10^-35米，这远远小于原子核的尺寸，他还认为测量比这个长度值更小的数值是没有任何意义的！(详见我在回答问题“物质是无限可分的吗？”时已给出了详细而通俗的证明过程，有兴趣的朋友可去看看)这说明我们的空间存在最小尺度，并不是无限变化下去的无限小数！还能解释为什么在现代科学研究中，使用的无理数π的近似值时，在最精确计算的时候仅需用到小数点后面的十几位！当然，如同前面所说的，这一系列用部分规律取代整体规律后生成的异类数(也可定义为精神数)，也有它存在的合理性，它们至少在近似地描述现实世界的数量关系时，会带来极大的方便，且精度可任意调整，直到较满意为止 。所以在以这两个典型的例子中，在现实世界里，仅需取π或√2的近似值 。至于应用到这些精神数的物质世界里的真实数值是多少，有待于测量技术的进一步发展 。
同理，复数(形如Z=a+bi，a,b均为实数，ⅰ^2=-1的数)里的虚数单位ⅰ在现实世界中也不存在，且当其虚部b≠0时，它一定是精神数！但将ⅰ与复数平面里的虚轴对应后，则表示该轴上的一个单位长度，其中，每一个复数都和该平面里的一个点(a，b)对应，且对应一个起点为原点，终点坐标为(a，b)的向量，即可以表示成坐标平面里向量，所以它遵循向量的一些运算法则(如向量的加减法、数乘向量)，它在物理学(如电磁学)等自然科学和其它工程技术上也有着广泛的应用 。
复数的向量表示
值得注意的是，根据狭义相对论的光速不变原理可知，光速在真空中对于不同的惯性系都是相同的，所以，对于我们司空见惯的时间，可以用处于某一真空惯性系的光的传播距离来重新定义！根据作匀速直线运动的物体的位移时间公式s=vt(s表示物体的位移矢量，v表示物体的速度矢量)可知，在该环境里的任意一束光的传播时间t=s/c(s在这里表示光的传播位移的大小，即传播距离，c表示光在该真空环境中的速度，即c=299792458米/秒)，这个简单的公式却蕴藏着极为深刻的哲理，即:我们习以为常的时间，其本质上就是这类环境下的任何光所传播的距离！因为当该光线每走完一段大小等于c的距离时，其对应的时间就是每1秒！因此，可以说，时间的本质就是在这类真空环境下的光(或构成光的每个光子)走过的路程！即时间的本质就是空间！当然，由于光速大小是一堆大数字，用c乘以某个常数来以表示具体的时间长短会给我们的生活、学习或科研计算造成诸多不便，因而，现有的时间定义仅仅是为了简化数目，图个方便，它仍有其存在的意义 。因此，更严格地说，数学科学研究的广义空间里还应包括时间！
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