无限循环小数是数学中一个极有趣的现象，它指的是数字的小数部分无限重复循环出现的数字 。在这个无限重复的过程中，数字会一直重复下去，而不会停止或收敛到某一值 。无限循环小数的出现，也说明了数学的博大精深和神奇奥妙 。正因如此，无限循环小数在科学、自然和技术领域中都有着广泛的应用和重要的意义 。在今天的世界中，我们不难发现，从游戏设计到网站开发，从金融投资到数据存储，无限循环小数的应用无处不在 。让我们一起来探究无限循环小数的奥秘和应用价值吧 。
在上篇文章中，我向大家展示了为什么所有的无限循环小数都可以用分数表示，以及如何将无限循环小数转化为分数 。
这篇文章，我们继续介绍无限不循环小数与无理数之间的关系 。
我们知道，无理数都是无限不循环小数，那么为什么是这样呢？
一、毕达哥拉斯的观点古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物都可以用整数或者整数之比表示 。
整数之比按照现在的数学语言，相当于分数 。按照毕达哥拉斯的观点，数只有整数和整数之比(分数)这两种 。
不过，后来毕达哥拉斯发现了勾股定理，他的这个观点很快就迎来了质疑 。
二、古希腊人眼中的勾股定理
平时我们对勾股定律的描述是，直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方 。不过古希腊人陈述勾股定理用的却是几何术语而不是数，描述方式如下：
建立在两个较小边上的正方形的面积之和等于建立在最长边（斜边，即直角所对的边）上的正方形的面积 。
几何图形描述如下：
正方形ABFG面积+正方形ACKH面积=正方形BCED面积（AB*AB+AC*AC=BC*BC）
虽然勾股定理是毕达哥拉斯发现的，但是他没有留下勾股定理的证明资料，今天我们能够看到最早关于勾股定理的证明 *** ，是欧几里得在《几何原本》“第1卷 平面几何基础” 命题47中给予的证明，他是通过在上图的基础上添加辅助线来证明的 。这里再多说一句，勾股定理的严格证明，其实很难 。欧几里得为了证明勾股定理，在《几何原本》中足足引用了3条定义、4条公设、5条公理以及用到提前已经证明好的25个命题的结论，才完成了勾股定理的证明 。
三、无理数的发现过程
勾股定理被毕达哥拉斯发现之后，毕达哥拉斯学派成员里就有人提出了一个问题：
如果有一个边长是一个单位长的正方形，以及最长边上面积是这个正方形面积2倍的另一个正方形，那么另一个正方形的边与这个正方形的边的比是多少？
这个时候我们还是引用上面那个图简单分析一下这个问题，首先我们先画出这个问题的图形出来，如下图所示：
假设正方形ABFG面积为a*a，最长边上正方形面积为2a*a，那么BC边与AB边长度的比是多少？
我们来分析一下这个问题，毕达哥拉斯不是提出“万物都可以用整数或者整数之比表示”，首先我们可以很快排除BC边的长为整数：
如果我们假设a=1，那么AB=1，BC*BC=2 。我们知道，没有哪个整数的平方是等于2的，因为1*1=1、2*2=4，1和2之间没有整数，这样我们就可以排除BC边的长为整数 。
即然BC边的长不是整数，那按照毕达哥拉斯“万物都可以用整数或者整数之比表示”的说法，BC边就只可能表示为两个整数的比 。
这时候，就有人提出了一个推理过程：
假设BC的长可以表示为2个整数的比，并且这2个整数没有除了单位1之外的公因子（如果2个整数之间有除了单位1以外的公因子，我们可以约分掉公因子变成最简形式，也就是2个整数没有除了单位1之外的公因子），这2个整数我们命名为b和a，且b的平方正好是a的平方的2倍(b*b=2a*a)，这时b就相当于图上BC边的长，a就相当于图上AB边的长度 。
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