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python勒让德函数 del函数python( 五 )

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勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式 。当方程满足 |x|1 时，可得到有界解（即解级数收敛） 。并且当n为非负整数，即n= 0, 1, 2,... 时，在x= ± 1 点亦有有界解 。这种情况下，随n值变化方程的解相应变化 ， 构成一组由正交多项式组成的多项式序列 ， 这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials） 。
勒让德多项式Pn(x)是n阶多项式，可用罗德里格公式表示为：
正交性
勒让德多项式的一个重要性质是其在区间 ?1 ≤x≤ 1 关于L内积满足正交性 ， 即：1
其中 δmn为克罗内克δ记号 ， 当m=n时为1 ， 否则为0 。事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1,x,x, ...}进行格拉姆-施密特正交化 。之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的Sturm-Liouville问题：
其中本征值 λ 对应于原方程中的n(n+1) 。
其他性质奇偶性
当阶数k为偶数时， 为偶函数；当阶数k为奇数时，为奇函数，即：2
递推关系
相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
另外，考虑微分后还有以下递推关系：
其中最后一个式子在计算勒让德多项式的积分中较为有用 。
移位多项式
移位勒让德多项式的正交区间定义在[0,1]上，即：
其显式表达式为：
相应的罗德里格公式为：
分数阶多项式
分数阶勒让德多项式通过将分数阶微分（定义参见分数微积分理论）和通过Γ函数定义的非整数阶乘代入罗德里格公式中来定义 。
极限关系
大Q勒让德多项式→勒让德多项式
令大q雅可比多项式中的c=0，即勒让德多项式
令连续q勒让德多项式q-1得勒让德多项式
小q勒让德多项式→勒让德多项式
本词条内容贡献者为:
王伟 - 副教授 - 上海交通大学
责任编辑：科普云
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连带勒让德函数和球函数的关系球函数
球函数 (spherical function)通常指连带勒让德方程的解python勒让德函数，亦即连带勒让德函数 。有时也把面调和函数称为球函数 。在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程时可出现这些函数 。
基本信息
外文名 spherical function
定义 指连带勒让德方程的解
领域 数学
学科
函数
基本介绍
在现代数学中，球函数及其推广已被广泛应用于拓扑群的酉表示 。
连带勒让德方程
连带勒让德方程是数学物理中常见的常微分方程之一 。其形式为：
作变换：
又可写成：
此方程有三个奇点()，且均为正则奇点，故可化为超几何方程 。
在球坐标系下将拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程分离变量时，可出现连带勒让德方程 。
调和函数
称定义在R 的开集U上的复值函数f是调和的 ， 如果它在U上二次连续可微，且它经拉普拉斯算子作用后为零： 。
可以证明，U上的分布T满足 ， 则T是解析且调和的函数 。为使在U上局部可积的函数f是调和的，必须且只须对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球含于U中的正实数α，等于f在球B上的平均值 。或等于f在以a为中心、α为半径的球面上的平均值 。由此容易推出：定义在连通开集U上、使 |f|在U的一点达到其极大值的调和函数是常值函数(极大值原理) 。

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