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欧拉函数c语言原理 欧拉公式的c语言实现( 四 )

IT技术函数


定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学 。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形 ， 拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质 。
（4）提出多面体分类方法：
在欧拉公式中，f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数 。欧拉定理告诉我们 ， 简单多面体f (p)=2 。
除简单多面体外，还有非简单多面体 。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体 。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面 。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0 。
（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题
如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等
[编辑本段]欧拉定理的证明
方法1：（利用几何画板）
逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E
先以简单的四面体ABCD为例分析证法 。
去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数E、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变 。因此，要研究V、E和F关系 ， 只需去掉一个面变为平面图形 ， 证V+F1-E=1
（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变 。依次去掉所有的面，变为“树枝形” 。
（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱 。
以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1 ， 所以加上去掉的一个面，V+F-E =2 。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段 。因此公式对任意简单多面体都是正确的 。
方法2：计算多面体各面内角和
设多面体顶点数V，面数F，棱数E 。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α
一方面，在原图中利用各面求内角总和 。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
∑α = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度
=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和 。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间 。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度 。
所以 ， 多面体各面的内角总和：
∑α = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度
=（V-2）·360度（2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度
所以 V+F-E=2.
方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式
图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式 。
欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末
F-E+V=2 。
证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：
（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体 。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子 。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1 。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割 ， 也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子 。每引进一条对角线 ， F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变 。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变 。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上 。

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