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欧拉函数c语言原理 欧拉公式的c语言实现( 五 )

IT技术函数


（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC 。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变 。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF 。这样F′减去1 ， E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变 。
（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止 ， 像图中⑥的样子 。这时F′=1，E′=3 ， V′=3 ， 因此F′-E′+V′=1-3+3=1 。
（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实 ， 因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形 ， 像图中⑦那样 。
（8）如果最后是像图中⑧的样子 ， 我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点 。因此F′-E′+V′仍然没有变 。
即F′-E′+V′=1
成立 ， 于是欧拉公式：
F-E+V=2
得证 。
[编辑本段]欧拉定理的运用方法
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
（2）复数
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
（4）多面体
设v为顶点数，e为棱数，f是面数 ， 则
v-e+f=2-2p
p为欧拉示性数，例如
p=0 的多面体叫第零类多面体
p=1 的多面体叫第一类多面体
(5) 多边形
设一个二维几何图形的顶点数为V ， 划分区域数为Ar ， 一笔画笔数为B,则有：
V+Ar-B=1
(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)
(6). 欧拉定理
在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线 。
其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的 。
[编辑本段]使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数
问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？
答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么
面数F＝x＋y
棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）
顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）
由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，
解得x＝12 。所以 ， 共有12块黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱 ， 这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中 ， 有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起 。
所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20
所以共有20块白皮子
（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接
所以，五边形的个数x=3y/5 。
之前求得x=12，所以y=20）
经济学中的“欧拉定理”
在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的 ， 那么就有：Q＝L(eQ/eL)＋K(eQ/eK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式 。

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