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python计算幂函数 python 幂函数

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幂函数的基本运算有哪些1、同底数幂的乘法：
2、幂的乘方(a^m)^n=a^(mn) ， 与积的乘方(ab)^n=a^nb^n 。
3、同底数幂的除法：
（1）同底数幂的除法：am÷an=a（m-n） (a≠0, m, n均为正整数，并且mn) 。
（2）零指数：a0=1 (a≠0) 。
（3）负整数指数幂：a-p= (a≠0, p是正整数）①当a=0时没有意义，0-2, 0-3都无意义 。
法则口诀：
同底数幂的乘法：底数不变，指数相加幂的乘方；
同底数幂的除法：底数不变 ， 指数相减幂的乘方；
幂的指数乘方：等于各因数分别乘方的积商的乘方
分式乘方：分子分母分别乘方，指数不变 。
扩展资料
计算：x5·xn-3·x4-3x2·xn·x4
解：x^5·x^n-3·x^4-3x^2·x^n·x^4
分析：
【python计算幂函数 python 幂函数】①先做乘法再做减法
=x（5 n-3 4）-3x（2 n 4 ）
②运算结果指数能合并的要合并
=x（6 n）-3x（6 n）
③3x2即为3·(x2)
=(1-3)x6 n ④x 6 n，与-3x6 n是同类项，
=-2x 6 n合并时将系数进行运算(1-3)=-2 。
Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【5】……续上回 Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【4】
来看profile的记录分析，看时间具体用在哪个部分了
一看，绝大部分时间耗在两句results上了
看来主要都用来大整数运算了
下面来试一下
把这程序里两句“results = ”后面的大数运算注释掉，换成1 。也就是两句都成“results = 1”
再运行计时看看
Total time: 0.000753秒
很惊人，去掉大数运算后 ， 运行时间缩短成了原用时的1% 。也就是99%时间消耗在Python内置的大数运算上了
下面试下用号称地球上最好的大数运算库替换掉Python内置的大数运算
9.应用GMP库
全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library ， 即GNU高精度算术运算库，这是一个C写成的高效大数运算库
gmpy2是Python下对GMP库的封装
安装很简单，在操作系统下打命令pip install gmpy2，就安装好了
应用到程序也很简单
把上面的二分迭代解法程序开头添加一行
再把程序里
改成
就可以了
运行看一下用时
Total time: 0.00689297秒
是原用Python内置大数运算用时的9%
效果显著 。可见Python内置大数运算效率确实不怎么样
相关大整数乘法高效算法的介绍可参见这篇《 【算法】大数乘法问题及其高效算法 》
极大整数乘法的时间复杂度低至近似O(n*log n)
前面二分解法本身时间复杂度是O(log n)
现在把大数因素考虑进去 。大数时间复杂度的n可以用二进制位数表示
第n项斐波那契数的二进制位数k跟n是线性关系，n*10，那位数k也是*10
现在把极大整数乘法时间复杂度代入 ， O(n*log n)*O(log n)=O(n*(log n)^2)
也就是在大数情况下二分解法的时间复杂度为O(n*(log n)^2)
可以看这篇《 为什么算法渐进复杂度中对数的底数总为2 》解释
10.矩阵解法
斐波那契数列和矩阵的关系推导我看到GoCalf Blog里写的一段非常清晰，特在此引用
这解法就是求矩阵的n-1次幂 。矩阵幂运算也能根据下面公式迭代二分加速
就是所谓的矩阵快速幂
Python里库很丰富，大名鼎鼎的numpy就是一个有关矩阵的库 。这库是有优化的 ， 算矩阵幂就不用个人再写什么矩阵快速幂函数了
用numpy库就能很简单的写出来
因为numpy没有大数支持 ， 大数运算还是要用GMP库
同上测用时
Total time: 0.042466秒
这幂运算是二分加速的，时间复杂度为O(log n)
对于固定阶矩阵相乘，乘的次数是个常数 ， 也就是O(1) 。虽然这个常数比较大^_*
代入大数时间复杂度，总体复杂度也是O(n*(log n)^2)
这儿来解释下为何矩阵快速幂比二分递归解法时间常数大
我们再来仔细看看斐波那契数列的矩阵形式：
会发现 z 和 y 必然相等，z 没必要再计算一遍 。
t = x - y，因此 t 也没必要再计算一遍 。
只需要计算矩阵第一列的那两个元素即可：
矩阵快速幂中两个矩阵相乘实际可分解为8次两个大整数乘法，而二分递归中只需要3次两个大整数乘法 。所以二分递归时间常数小 。
未完待续……
Fibonacci数列高效解法大全及时间复杂度分析　连载【6】
幂函数是如何计算的，其计算复杂度如何统计
比如我们要求power（2,1/3），意思就是我们要解一个方程x^3=2.这不就是一个高次方程么 。那么解告辞方程的手段都可以用了 ， 最简单的二分法，稍微复杂点的牛顿迭代，还有aitken加速算法，如果你想了解更多更深入的数值分析方法，那需要较强的数学理论做基础 。比如高阶台劳公式等等，这些还是很繁琐的 。
值得一提的是那如果我们要算power（2,π），怎么办？那就需要更爽的策略了。这个打字太麻烦了，我可以用怎样口算求开发来说明用牛顿迭代求power（17,1/2）
一般的，形如y=xa(a为实数）的函数，即以底数为自变量 ， 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数 。例如函数y=x0y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数 。当a取非零的有理数时是比较容易理解的 ， 而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了 。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识 。
幂函数求和公式幂函数求和公式：s=N (N-1) (N-2) ... 1，其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导 。
推导的过程：可通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列 ， 由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形 。
当n为奇数时 ， 由1 2 3 ... N与s=N (N-1) (N-2) ... 1相加得：2s=N [1 (N-1)] [2 (N-2)] [3 (N-3)] ... [(N-1) (N-N-1)] N=N N N ... N加或减去所有添加的二项式展开式数=(1 N)N减去所有添加的二项式展开式数 。
当n为偶数时，由1 2 3 ... N与s=N (N-1) (N-2) ... 1相加得：2s=N [1 (N-1)] [2 (N-2)] [3 (N-3)] ... [(N-1) (N-N-1)] N=2N 2[(N-2) (N-4) (N-6) ...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数 。
又当n为偶数时，由1 2 3 ... N与s=N (N-1) (N-2) ... 1相加得：2s=[N 1] [(N-1) 2] [(N-2) 3] ... [(N-N-1) (N-1)]=2[(N-1) (N-3) (N-5) ...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数，合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N (N-1) (N-2) ... 1的计算公式 。
对数函数 ， 指数函数，幂函数计算公式对数函数计算公式：y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1），它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y 。
指数函数计算公式：一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R) 。
幂函数计算公式：一般地，形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数 。
拓展资料：
一般地，对数函数以幂（真数）为自变量 ， 指数为因变量，底数为常量的函数 。
如果ax=N（a0 ， 且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数 ， N叫做真数 。
一般地，函数y=logax（a0，且a≠1）叫做对数函数 ， 也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数 。
指数函数是重要的基本初等函数之一 。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a0 ， a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R。
一般地.形如y=x^α(α为有理数）的函数，即以底数为自变量 ， 幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数 。例如函数y=x0、y=x1、y=x2、y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）等都是幂函数 。
幂函数的一般形式是，其中，a可为任何常数，但中学阶段仅研究a为有理数的情形（a为无理数时取其近似的有理数），这时可表示为，其中m,n，k∈N*，且m ， n互质 。特别，当n=1时为整数指数幂 。
百度百科_对数函数百度百科_指数函数百度百科_幂函数
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