数据库快速索引原理！B树和B+树的实现原理和实例代码全解

在上一节中，我们详细讨论了二叉树、AVL平衡二叉树、伸展树、B树和B+树，对树这种重要的数据结构进行了详细的讨论，如果你对数据结构和算法的基本概念还未了解，可以参考：数据结构、算法分析和算法设计。本节主要是对上一节内容的补充，因为上一节中对B树的实现并不好，上一节B树的插入过程如下图：

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这个算法逻辑实现上是有问题的，因为该算法在向下遍历的插入的时候还往回处理分裂，下面是上节B树的删除大体流程：

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这个算法也是和插入一样类似的问题，在代码实现上会很复杂，大体是没大问题的，有兴趣的朋友可以指出来，下面重新介绍B树和B+树，相关的实现原理和代码实现，对于实现上会采取一种不同的更简单的方式，B+树是B树的扩展，B树可以说是一种广义树，B+树主要应用于大量数据索引的场景，例如操作系统的文件系统和数据库，如MySQL。
一、B树的数据结构和算法详解1、B树的基本定义
在上一节我们是使用最大度数或阶数M来定义B树的，这种一般的定义方式如下：

根结点度数M> =2；
叶子结点的深度相同；
非叶结点的度数：[M/2] < = T < = M，[]为向上取整符号；
结点的关键字数：[M/2]-1 < = K < = M-1；
关键字数K和结点度数T的关系为：K=T-1。

以上定义是正确的，但是问题是M如果为奇数在处理插入和删除的时候会有问题，这时候关键字数就为偶数，分裂结点就没那么方便了。
另一种B树的定义是使用最小度数t进行定义，该方式也是算法导论中采取的方式：

最小度数t> =2，B树的最小度数与磁盘块的大小有关；
根结点的关键字数最小为1；
叶子结点的深度相同；
非叶非根结点的度数：t < = T < = 2t；
非根结点的关键字数：t-1 < = K < = 2t-1；

（6）关键数K和度数的关系为：K = T – 1。
之后你会发现使用最小度数实现B树会更加优雅，B树每个结点的关键字都按升序排列。设B树的关键字数为N，则B树的关键字数N > = 2t^h-1，h为B树的高度h < = log((N+1)/2)，底数为t，t> =2，B树的所有一般操作的时间复杂度为O(log N)，底数为t。
2、B树的数据结构
B树的结点至少包括：

键值数组或关键字数组，长度为2t-1，长度为2t-1时结点为满；
最小度数t，最大度数为2t；
儿子指针数组，长度为2t；
当前关键字数目n，最大值为2t-1；
是否是叶子，用于标识一个结点是否是叶子结点，叶子结点没有儿子或其儿子为空。

下面是B树数据结构和算法声明的代码：

// // Created by Once on 2019/7/22. //#ifndef TREE_BTREE_H #define TREE_BTREE_H// 键值数组结构 typedef struct column{ int id; // 关键字 char title[128]; } Column; // B树结点 typedef struct bnode{ int size; // 当前关键字数目 Column **columns; // 键值数组 struct bnode **children; // 儿子指针数组 unsigned int leaf; // 是否为叶子 } BNode; // B树ADT对外接口 typedef struct btree{ unsigned int degree; // 最小度数 BNode *root; // 根结点 unsigned int size; // B树结点大小 } BTree; // B树算法操作声明 extern BTree *btree_init(unsigned int degree); extern int btree_is_full(BTree *btree); extern int btree_is_empty(BTree *btree); extern int btree_add(BTree *btree, Column *column); extern int btree_delete_by_id(BTree *btree, int id); extern Column *btree_get_by_id(BTree *btree, int id); extern void btree_traverse(BTree *btree, void(*traverse)(Column*)); extern int btree_clear(BTree *btree); #endif //TREE_BTREE_H

3、创建B树
C语言使用malloc创建一个B树，可预先创建一个根结点，也可以在插入数据的时候创建，初始化数据结构中的基本值，包括当前关键字数，是否是叶子，在处理B树持久化的时候，需要将新的根结点写入硬盘。这里仅仅初始化B树，不预先创建根结点：

BTree *btree_init(unsigned int degree){ BTree *btree = (BTree*)malloc(sizeof(BTree)); if(!btree){ perror("init b tree error."); return NULL; } btree->root = NULL; btree->size = 0; btree->degree = degree; return btree; }

4、B树遍历算法
树的遍历原则是以一个关键字为中心，左右儿子为该关键字的上限和下限，在B树遍历中，需要遍历结点上的关键字，在这里可使用while或for循环顺序遍历，时间为O(t)，也可以使用二分法遍历，时间为O(log t)，顺序遍历一个B树的描述如下，这是一个中序遍历：

使用for循环，上限为当前结点关键字数size，索引为i；
先遍历第i个非叶子儿子，此时即递归自身；
处理第i个关键字；
后处理第i+1个儿子，递归自身；
处理第i+1个关键字；
以上操作循环处理，跳出循环后需要处理最后一个儿子。

B树遍历算法代码如下：

static void traverse_tree(BNode *root, void(*traverse)(Column*)){ int i; for (i = 0; i < root->size; ++i) { if(!root->leaf) traverse_tree(root->children[i], traverse); traverse(root->columns[i]); } if(!root->leaf) traverse_tree(root->children[i], traverse); }void btree_traverse(BTree *btree, void(*traverse)(Column*)){ if(btree == NULL || btree->size == 0) return; traverse_tree(btree->root, traverse); }

5、B树搜索算法
B树的搜索算法输入参数为B树的根结点root和待查找的关键字k，输出为NULL，找到对应的关键字则返回目标结点以及目标关键字的索引位置，这里实现仅仅返回关键字对应的值。
B树搜索的重点在于确定关键字的位置，包括确定相等关键字的位置，同时确定下层儿子的位置，这里要说一下关键字的索引和儿子的索引的关系，如下图：

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结点上确定关键字位置的算法有两种，线性搜索和二分法搜索，线性搜索的时间为O(t)，此时B树的总时间为O(t log N)，底数为t，二分法搜索的时间为O(log t)，此时B树的总时间为O(log t log N))，B树搜索算法代码如下：

// 顺序查找结点关键字，每个结点最多关键字为2t-1，时间复杂度为O(2t-1)，即O(t) static int seq_search(const Column *array[], const int len, const int value){ int i = 0; while(i < = len - 1 & & value > array[i]->id) i++; return i; }// 二分法查找结点上相同的关键字、确定儿子访问位置，每个结点关键字数为2t-1，时间复杂度为O(log(2t-1))，即O(log t) static int binary_search(Column *array[], const int len, const int value){ int start = 0, end = len - 1, index = 0, center = (start + end) / 2; while(start < = end){ if(value =http://www.srcmini.com/= array[center]->id){ index = center; break; } else if(value > array[center]->id){ index = center + 1; center += 1; start = center; } else{ index = center; center -= 1; end = center; } center = (start + end) / 2; } return index; }static Column *btree_get(BNode *root, int id){ int index = binary_search(root->columns, root->size, id); if(index < root->size & & root->columns[index]->id == id) return root->columns[index]; else if(root->leaf) return NULL; else return btree_get(root->children[index], id); }Column *btree_get_by_id(BTree *btree, int id){ if(btree == NULL || btree->size == 0) return NULL; return btree_get(btree->root, id); }

6、B树插入算法
B树的插入最主要就是结点分裂了，一般来说如果一个结点满了，则分裂成两个结点，中间的关键字插入到父结点，这样向上分裂，但是关键字是插入到叶子结点的，等到插入关键字再分裂结点，则处理会比较麻烦。
这里B树插入采用另一种方式：插入关键字从根结点自上而下查找关键字所属位置，将关键字添加到叶子结点上；沿途经过的结点若满（满的关键字数为2t-1）则分裂结点，以第(t-1)个关键字为分界点，分成两个结点，每个结点的关键字数为t-1，将第t-1个关键字插入到父结点，这样将关键字插入到叶子结点时就不需要再分裂，如下图，插入6之前先将根结点分裂，然后再从根结点上获取新的路径插入到叶子结点上。

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B树插入算法的大体流程如下图所示，其总体流程包括满结点分裂、非满结点插入：
取出根结点，如果根结点已满则分裂该结点，然后更新根结点，向下选择路径，检查途径的结点，如果是内部结点，检查该结点的儿子结点是否已满，若满则分裂，否则继续向下，如果是叶结点则插入关键字，插入结束。

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（1）分裂结点算法分裂结点分裂的不是当前结点，而是当前结点的儿子结点，分裂结点算法的输入参数包含儿子为满的父结点，以及满儿子在父结点中的索引位置i，这个i在向下选择路径的时候可以求得到。
在自上而下查找关键字位置时，分裂途径的满结点，关键字数为2t-1为满，分裂的结点包括叶子结点，这样在分裂当前结点时，可保证它的父结点不是满的，也就是不需要再向上分裂了，分裂算法的详细描述如下：

以当前结点作为父结点，检查向下的儿子s结点是否已满，而根结点的分裂会导致创建新的根结点n；
如果根结点已满，则创建并初始化新结点n（包括当前关键字数、是否为叶结点），在节点s中将从第t个开始的关键字转移到n中，非叶结点需要从第t个开始转移儿子到n中；
将新结点添加到当前结点（父结点）作为儿子；
将第t-1个关键字添加到当前结点（父结点）中。

以上分裂算法都是针对当前结点分裂儿子结点，在路径每一个结点上都需要检查，若结点已满则调用该分裂算法，代码如下：

/** * 1、创建新结点n * 2、转移关键字到n * 3、转移儿子到n * 4、n添加作为parent的儿子 * 5、将中间关键字添加到parent * */ static int split_child(BTree *btree, BNode *parent, int index){ BNode *left = parent->children[index]; BNode *right = (BNode*)malloc(sizeof(BNode)); if(!right) return 0; right->columns = (Column**)malloc(sizeof(Column*) * (2 * btree->degree - 1)); right->children = (BNode**)malloc(sizeof(BNode*) * (2 * btree->degree)); if(!right->columns || !right->children) return 0; right->leaf = left->leaf; for (int i = btree->degree; i < left->size; ++i) { right->columns[i - btree->degree] = left->columns[i]; } if(!left->leaf){ for (int i = btree->degree; i < left->size + 1; ++i) { right->children[i - btree->degree] = left->children[i]; } } right->size = btree->degree - 1; left->size = btree->degree - 1; for (int k = parent->size; k > index; --k) { parent->columns[k] = parent->columns[k - 1]; } parent->columns[index] = left->columns[btree->degree - 1]; for (int j = parent->size + 1; j > index + 1; --j) { parent->children[j] = parent->children[j - 1]; } parent->children[index + 1] = right; parent->size++; return 1; }

（2）B树插入关键字完整的插入算法输入参数包括根结点和待插入的关键字，以上的分裂算法只处理满结点的情况，那么非满结点也需要做处理，下面是该算法的完整描述：

先检查B树的根结点，如果根结点为满，则创建一个新的根结点，调用分裂算法进行分裂，处理完成后再以新的根结点为起点调用非满插入算法；
关键字数小于2t-1为非满，如果当前结点为叶子结点，则将关键字插入到结点中；
如果当前结点为内部结点，获取下一个儿子结点，检查是否需要分裂，分裂完成后，再递归调用非满插入算法。

同样的，以上检查结点是否已满，除了根结点外，都是检查儿子结点的，下面是完整的关键字插入代码：

static int add_none_full(BTree *btree, BNode *root, Column *column){ int index = binary_search(root->columns, root->size, column->id); if(root->leaf){ if(index < root->size & & root->columns[index]->id == column->id){ strcpy(root->columns[index]->title, column->title); return 1; } Column *c = (Column*)malloc(sizeof(Column)); if(!c) return 0; c->id = column->id; strcpy(c->title, column->title); for (int i = root->size; i > index; --i) { root->columns[i] = root->columns[i - 1]; } root->columns[index] = c; root->size++; return 1; } else{ if(root->children[index]->size == 2*btree->degree - 1){ if(split_child(btree, root, index)){ if(column->id > root->columns[index]->id) index++; } else return 0; } return add_none_full(btree, root->children[index], column); } }static int add_node(BTree *btree, BNode *root, Column *column){ if(!root){ root = new_node(btree); if(!root) return 0; Column *c = (Column*)malloc(sizeof(Column)); if(!c) return 0; c->id = column->id; strcpy(c->title, column->title); root->leaf = 1; root->columns[0] = c; root->size = 1; btree->root = root; btree->size++; return 1; } else{ if(root->size == 2*btree->degree - 1){ BNode *node = new_node(btree); if(!node) return 0; node->leaf = 0; node->size = 0; btree->root = node; node->children[0] = root; btree->size++; if(split_child(btree, node, 0)){ int i = 0; if(node->columns[0]->id < column->id) i++; return add_none_full(btree, node->children[i], column); } return 0; } else return add_none_full(btree, root, column); } }int btree_add(BTree *btree, Column *column){ if(btree == NULL || column == NULL) return 0; return add_node(btree, btree->root, column); }

7、B树删除算法
B树的删除操作比较复杂，下面我们来一步步分析，我们可以想到，删除的情况有两种：内部结点和叶子结点，这里删除的方式也是和插入类似，一次遍历完成删除操作，因为删除一个关键字可能会导致结点关键字不足t-1个，这就需要借或者合并相邻结点。
这里我们采取这样的方式，一般来说非根结点关键字数至少为t-1个（根结点至少为1个关键字），递归下降遍历，对每个沿途经过的结点，保证结点的关键字说为t（比最小关键字数t-1多1），儿子结点关键字不足t时，从父结点下移一个到儿子中，将兄弟结点的关键字上移一个到父结点，当前结点关键字为空，删除当前结点，让儿子成为新的根，这种方式保证内部结点的关键字数至少为t，这样从内部结点删除一个关键字时就不会导致该结点为空或少于t-1个关键字，下图是B树删除操作的大体流程，下面我们详细讨论操作流程：

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删除操作输入参数为根结点和待删除的关键字k，删除的操作分为以下三种情况：

k在叶结点中：直接删除关键字k，如果不存在也删除结束；
k在内部结点中：以当前待删除的关键字k为中心，k有左右儿子：
k的左儿子关键字数> =t，将左子树的最大值M替换k，递归向下删除M；
k的右儿子关键字数> =t（k的左儿子的关键字数< t），将右子树的最小值m替换k，递归向下删除m；
k的左右儿子关键字数==t-1，将k和左右儿子合并进左儿子，在当前结点中释放右儿子和k，从左儿子递归向下删除k。
k不在当前结点中：当前结点的向下儿子s，k有可能在以s为根的结点中，此时我们需要将s的关键字调整至少t个关键字，（向左借、向右借、合并左或右）调整的情况如下：
s结点只有t-1个关键字（相邻兄弟关键字> =t），将当前结点的一个关键字下移到s中，将左或右兄弟一个关键字上移到当前结点，将兄弟中关键字相应的儿子移到s结点中；
s结点和所有相邻兄弟结点都只有t-1个关键字，将s和其中一个兄弟合并，将当前结点的一个关键字移到新合并的结点中。

删除算法可分为：当前结点存在关键字，则删除叶子结点或者内部结点的关键字，不存在则需要检查儿子结点进行填满t个关键字的操作。B树的完整源码可在github上查看：https://github.com/onnple/B-TREE-C，该项目的删除操作有bug，但是由于时间问题就不再进行调试了，感兴趣的朋友可以指正一下。
二、B+树B+是B树的扩展，它和B树在结构上主要的不同在于，B+树的所有叶结点是使用链表链接的，而且B+树的叶结点包含了全部的关键字，下面B+树图片取自于维基百科：

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B+树的主要应用在操作系统的文件系统和数据库，这里就不实现B+树了，需要应用B+树的特性那么使用例如MySQL等数据库是最好的方式。
如果需要自定义实现B+树，B+树的数据结构和B树的基本一样，不过叶子结点需要增加左右兄弟的指针。B+树的算法操作也和B树基本一样，但是要注意因为B+树的所有叶子结点包含了所有的关键字，所以在插入操作分裂结点中，中间的关键字除了插入父结点，需要保留在叶子上，删除操作则需要把叶子上相同的关键字一并删除。
三、MySQL数据库索引引擎实现原理如果你用过MySQL数据库的话，可能知道在MySQL存储数据有几种文件，例如.frm文件、.myi文件、.myd文件和.ibd文件，首先.frm文件是MySQL用于表示表结构的文件，一般创建一个新表都会创建这样的文件。
MySQL数据库有两大索引引擎：MyISAM引擎和InnoDB引擎，这两个索引引擎都是基于B+树实现的，对于MyISAM索引引擎，它是一个非聚簇索引，即在叶子结点上存储数据的地址，所以使用MyISAM索引存储的数据分为两个文件：.myi文件和.myd文件，这两个文件分别存储索引和真实数据。
而对于InnoDB引擎，它直接在叶结点存储数据本身，因此是聚簇索引，只使用一个文件存储索引和真实数据，该文件就是.ibd文件。
1、MySQL索引引擎实现原理
首先我们要清楚，实现MySQL索引引擎并不是直接存储一个B+树，甚至并不需要一个真正的B+树，实际存储的是一个结点的数据，一次IO读取一个结点，从这个结点找出下一个结点的位置再次调用IO读取，所以索引引擎是一个逻辑上的B+树。
为什么要使用B+树索引数据？主要还是因为速度的问题，我们的真实数据存储在磁盘上，一般在内存里面的操作都不算耗时，反而机械磁盘耗时会比较明显，因为磁盘读取有真实的机械性操作，影响磁盘读取速度的主要因素是：盘片的旋转和磁臂的移动。那么如何实现速度最大化呢？那就是B+树了，B+树读取海量的数据只需要O(log N)次操作，而且其底数t可以最大化，InnoDB是将根结点常驻内存，以一个结点为一个数据单位，一次IO读取一个结点，MySQL设置的一个数据页为16K。
为什么使用B+树而不是B树？要知道B+树的结点不存储任何真实数据，只存储索引数据，而B树是两者都存储，这样相同大小16K的一个结点，B+树存储的索引数据比B树的多很多，这意味着B树的IO操作次数会比B+树的多，所以使用B+树实现索引更有优势，另外一个原因是因为B+树的所有叶结点都是相连的，B+树可以很方便地进行顺序访问或范围性访问。
MySQL在索引引擎实现上并不是严格遵守B+树的定义，例如结点分裂，MySQL采取的原则是空间优先，只要结点空间足够就插入，尽量最大化利用空间。
2、InnoDB存储引擎索引原理
（1）存储结构A、表空间（table space）：一个存储文件的主题，由段组成；
B、段（segment）：由簇组成，可分为数据段、索引段和回滚段；
C、区/簇（extent）：由64个连续的页空间组成（64x16k），段的最小单位，它是一个连续分配的段空间；
D、页（page）：磁盘块的最小单元，16k大小，常见的页有数据页（B-tree Node page）、事务数据页（Transacation system page）、Undo页和系统页，又称为一个记录（page==record），一个页等于一个结点。
（2）数据存储原理磁盘由盘面、磁头、磁道（Track）、柱面（Cylinder）和扇区（Sector）组成，盘面从上而下从0开始编号，磁头由上而下从0开始编号，磁道由外向内从0开始编号，磁道的一段圆弧叫做扇区，扇区从1开始编号，柱面编号和磁头是一样的。
磁盘的数据寻址有两种方式：逻辑地址和磁盘地址，逻辑地址则是编程代码中获取的数据地址，一般用十六进制表示，磁盘地址是数据的物理地址，一般使用一个三位码表示（柱面号，磁头号，扇区号）。
【数据库快速索引原理！B树和B+树的实现原理和实例代码全解】磁盘IO读写的速度影响因素包括磁盘存储介质和机械运动，上面对索引引擎的存储结构的设计，一个依据是计算机局部性原理，也就是说设计结点的大小需要考虑磁盘块的大小，计算机局部原理是说，当一个数据被使用到时，附近的数据也会被马上用到，程序运行所需数据通常比较集中，在附近柱面，或附近磁头，或附近的扇区，另外程序预读数据也可以提高IO效率，预读的数据长度为页的整数倍。