本文概述
- 亚半群
- 免费半组
- 半群属性
- 单体
- 子Monoid
- *是对集合A的关闭操作。
- *是一个关联操作。
解决方案：闭包属性：*是闭合运算, 因为两个+ ve奇数整数相乘是+ ve奇数。
【数学之半群】关联属性：操作*是对集合A的关联操作。由于每个a, b, c∈A, 我们有
（a * b）* c = a *（b * c）
因此, 代数系统（A, *）是一个半群。
亚半群考虑一个半群（A, *）, 令B?A。然后, 如果集合B在*操作下闭合, 则系统（B, *）被称为一个半子群。
示例：考虑一个半群（N, +）, 其中N是所有自然数的集合, 而+是加法运算。代数系统（E, +）是（N, +）的一个子半群, 其中E是一组+ ve个偶数整数。
免费半组考虑一个非空集A = {a1, a2, … .. an}。
现在, A *是A元素的所有有限序列的集合, 即A *由可以由A的字母形成的所有单词组成。
如果α, β和γ是A *的任何元素, 则α（β。Γ）=（α.b）.c。
这里的°是级联运算, 是上面所示的关联运算。
因此（A *, °）是一个半群。该半群（A *, °）称为由集合A生成的自由半群。
半群属性定理：如果（S1, *）和（S2, *）是半群, 则（S1 x S2 *）是半群, 其中*由（s1′ , s2’ ）*（s1” , s2” ）=定义（s1’ * s1” , s2’ * s2” ）。
证明：半群S1 x S2在操作*下关闭。
*的关联性, 让a, b, c∈S1 x S2
因此, a *（b * c）=（a1, a2）*（（b1, b2）*（c1, c2））=（a1, a2）*（b1 * 1 c1, b2 * 2 c2）=（a1 * 1（b1 * 1 c1）, a2 * 2（b2 * 2 c2）=（（a1 * 1 b1）* 1 * 1, （a2 * 2 b2）* 2 c2）=（a1 * 1 b1, a2 * 2 b2）*（c1, c2）=（（a1, a2）*（b1, b2））*（c1, c2）=（a * b）* c。
由于*是封闭的和关联的。因此, S1 x S2是一个半群。
单体让我们考虑一个代数系统（A, o）, 其中o是对A的二元运算。然后, 如果系统（A, o）满足以下性质, 则称该系统为等式：
- 操作o是对集合A的关闭操作。
- 运算o是关联运算。
- 存在一个标识元素, 即操作o。
解决方案：（a）闭合属性：由于两个自然数之和, 因此+操作已闭合。
（b）关联性质：由于我们具有（a + b）+ c = a +（b + c）?a, b, c∈N, 因此运算+是关联性质。
（c）身份：在集合N中存在一个身份元素+。元素0是一个标识元素, 即+。由于操作+是封闭的, 关联的, 所以存在一个标识。因此, 代数系统（N, +）是一个单曲面。
子Monoid让我们考虑一个mono半群（M, o）, 也让S?M。当且仅当（S, o）满足以下属性时, 才称为（M, o）的子monoid：
- S在操作o下关闭。
- 存在一个恒等元素e∈T。
