本文概述
- 群同态
- 同构
- 自同构
- 环
- 环类型
- 子环
如果x H x-1 = {x h x-1 | h∈H}, 则当且仅当xHx-1?H, ?x∈G
陈述：如果G是一个阿贝尔群, 则G的每个子群H在G中都是正常的。
证明：设任何h∈H, x∈G, 那么x h x-1 = x（h x-1）x h x-1 =（x x-1）h x h x-1 = e h x h x-1 =h∈H
因此H是G的正常子群。
群同态 同态是映射f：G→G’ , 使得f（xy）= f（x）f（y）, x, y∈G.尽管组G和G’ 是不同的。上述条件称为同态条件。
同态核：-从群G到身份为e’ 的群G’ 的同态f的核是集合{x∈G | f（x）= e’ }
f的内核由Ker f表示。
如果f：G→G’ 是G到G’ 的同态, 则f的图像集是映射f的范围, 用f（G）表示。从而
Im（f）= f（G）= {f（x）∈G’ | x∈G}
如果f（G）= G’ , 则G’ 被称为G的同态图像。
注意：-组同态 同构 令（G1, *）和（G2, 0）为两个代数系统, 其中*和0均为二进制运算。如果存在同构映射f, 则称系统（G1, *）和（G2, 0）是同构的：G1→G2
当两个代数系统是同构的时, 这些系统在结构上是等效的, 可以通过简单地保留元素和运算来从另一个系统中获得一个系统。
示例：假设（A1, *）和（A2, ?）为两个代数系统, 如图2所示。确定两个代数系统是否同构。
f（a）= 1 f（b）= w f（c）= w2
自同构 假设（G1, *）和（G2, 0）是两个代数系统, 其中*和0分别是对G1和G2的二进制运算。如果G1 = G2, 则从（G1, *）到（G2, 0）的同构称为自同构
环 如果R是满足以下条件的代数系统（R, +, ）, 则R是具有两个任意二进制运算+和。的集合。
- （R, +）是一个阿贝尔群。
- （R, ?）是一个半群。
- 对于所有a, b, c∈R, 乘法运算在加法运算+ i上是分布的, 即（b + c）= ab + ac和（b + c）a = ba + ca.
例2：在加法和乘法模9下的集合Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}形成一个环。
环类型 1.交换环：如果环（R, +, ）在乘法运算（即a）下保持交换律, 则称为交换环。 b = b。 a, 每a, b∈R
例1：在加法和乘法运算下, 考虑所有偶数整数的集合E。集合E形成交换环。
2.统一环：如果环（R, +, ）具有乘法身份, 即称为“统一环”,
示例：考虑矩阵乘法和矩阵加法下整数上所有2 x 2矩阵的集合M。集合M形成一个整体的环。
3.零除环：如果ab = 0, 其中a和b是环（R, +）中R中的两个非零元素, 则a和b称为零和环（R, +）的除法被称为零除环。
4.无零除的环：代数系统（R, +）, 其中R是具有两个任意二进制运算+的集合, 如果每个a, b∈R, 我们有ab≠0?, 则称其为无零除数的环。 a≠0和b≠0
子环 环（R, +）的子集A如果满足以下条件, 则称为R的子环：
（A, +）是组（R, +）的子组
对于每个a, b∈A, A在乘法运算（即a.b∈A）下是闭合的。
【普通子群】示例：整数的环（I, +）是实数环（R, +）的子环。
注意：1.如果R是任何环, 则{0}和R是R的子环。2.两个子环的总和可能不是子环。 3.子环的交点是一个子环。
