映射的基本性质证明在抽象代数中如何证明映射，如何证明映射是单射 _睿知

如何判断群的同态与同构
判断群的同态同构的思路和方法如下：如果要研究未知代数系统的结构，可以通过建立未知代数系统和已知代数系统之间的关系来研究，这种关系刻画了两个代数系统之间的相似性。即这两个代数系统的结构是完全一致的。此时，这两个代数系统之间的联系表现为“同构” 。同构是两个代数系统之间最好的描述。但一般来说，同构映射很难找到，所以退而求其次，提出一个比同构更弱的要求：同态。也就是说，如果不要求这个映射是双射的，那么描述这两个代数系统之间联系的精细度就会低很多。也就是说，虽然不能建立两个组中元素之间的一一对应关系，但至少建立了已知组的子集与未知组中元素的一一对应关系。我们对未知群的了解程度取决于这种刻画的准确性，即取决于同态核的大小。可以定义一个二进制自然数到十进制自然数的映射，称为“把一个数映射到自己身上”；那么这个映射就是一个(半环)同构，保持加法和保持乘法3354的意思是如何将二进制或十进制的两个数相加，相加的结果仍然可以相互对应；还是双摄。二进制自然数和十进制自然数其实是一回事。世界上只有一个自然数，十进制的不同不会改变自然数半环的加乘结构和序结构等。于是同构就起到了这样的作用，抓住了一个数学对象最本质的信息(比如上面例子中的加法和乘法结构)，而忽略了其他不太重要的信息(比如十进制)，然后把具有相同“本质信息”的对象当作一个。“同构”或者更一般地说，“取等价类”的想法实际上早在抽象代数研究之前就存在了。比如“三个苹果”和“三个香蕉”，只考虑数字就“同构”，这有助于给出3这个抽象的数学概念。比如两个全等的三角形可以看成一个，但是放在不同的位置。但是在很多情况下，位置信息并不重要，重要的是三角形本身的几何信息，比如边长、内角等等。至于同态，它有比同构更广泛的含义。它是在两个本质上不一定相同的数学对象之间建立联系；比如自然数半环到实数域的包含映射是(单)半环同态，这就告诉我们自然数可以看作实数3354这个更大结构的一部分，而不是说自然数和实数是一回事。所以同态相当于两个数学对象之间的“联系” 。扩展材料：同态和同构是近世代数体系中的概念，也是学习其他相关课程的基本概念。h-同态，代数系统和，F是G到S. ” a的映射，B是G的元素，若F(A* B)=F(A) F(B)，则F是从到的同态。而G和S是同态。如果F是满射的，那么G和S是完全同态的，记为G~ S；如果f是内射的，那么G和S是同态的。(f(G)，)称为(G，*)在f. H同构下的同态，代数系统和，若F是G到S的双射，则F是G到S的同构映射，G同构于S，GS.群H的同态与同构，设(G，*)和(S，)是群。如果存在同态、单同态和全同态映射F: GS，那么群G和S是同态、单同态和全同态；如果从到有同态双射，叫做群与同构，qs.参考：百度百科-同态与同构

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近世代数中的同态映射主要是讲什么
同态、同态、同构基本概念的重要性这两天我学习了近世代数中最基本的同态、同态、同构概念。因为同态在学习中没有和另外两个概念同时学习，所以短时间内我其实对三个概念有了一些误解。尤其是认为同态是同态的简称，可以说是我犯了一个很大的错误。就在我学习同态概念的时候，老师强调了这一点，我被老师提出的这一点强烈震撼了，才发现我的自我信念有时候是不准确的。另外，老师在证明两组同态之间运算的结合律时，指出我差点犯了一个严重的逻辑错误，而这个错误往往伴随着对基本概念的把握不好。更何况上学期自学数学的时候，我明显感觉到，做任何研究，首先要搞清楚研究对象中的基本概念，才能达到有针对性的目标。当时我也是这么跟我的好伙伴说的，用一个像如何证明两组相等这样的题目给他看掌握基本概念的好处。这学期我们的一位任课老师让我们在课堂上讲一些关于数字图书馆的知识。当时我的第一意识告诉我，借此机会向大家传达了解和掌握基本概念对我们学习、工作乃至生活的重要性，希望能对他们的学习和生活有所帮助。虽然我的想法可能因为种种原因无法实现，但是很多事情已经充分说明我已经开始非常重视基本概念了。今天写这篇文章的目的是为了明确同态映射、同态、同构这三个概念，以及一个定理的证明，说明体现基本概念的重要性。基本概念掌握不好可能会出错，掌握了概念就能事半功倍。
如何理解线性代数
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间(或线性空间)、线性变换和有限维线性方程组。向量是现代数学中的一门重要学科。因此，线性代数广泛应用于抽象代数和泛函分析中。通过解析几何，线性代数可以具体表达。线性代数的理论已经推广到算子理论。因为科学研究中的非线性模型通常可以近似为线性模型，所以线性代数的应用非常广泛。
于自然科学和社会科学中。线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。在考研中的比重一般占到22%左右。基本简介线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段线性代数，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP 。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

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近世代数集合映射问题【映射的基本性质证明在抽象代数中如何证明映射，如何证明映射是单射】等式左边是从集合A到集合B的所有映射个数，右边是集合B的元素个数的集合A的元素个数次幂，就是一个排列组合问题。
学过近世代数的高手进1.φ是1-1映射,没的说,答案你自己知道.只要φ是映射(单值映射),那么φ[φ^-1(a)]=a必然成立,题目中的式子未必等于a.考虑多对一的情形.变换考虑的是一个集合自身到自身的映射,中心词还是映射,那么映射中的结论成立.2.0->1,显然,作为单位元是唯一的.若a->a”则-a->1/a”.那么-1->?,就不合理了.所以没有同构映射存在.3.aRa指对！！任意！！的a属于集合A（我们假定）都成立“任意”性是关键.aRb则bRa；aRb，bRa则aRa.有个前提是aRb一定要成立，否则就没有aRa.而和b不一类的元素,任意性无法满足.4.任意的x,y属于G,(xy)(yx)=x(yy)x=xx=e.逆元是唯一的.所以xy=yx5.显然.否则可以把一个无限阶的元的各个阶都拿出来,自然各不相同,和有限群矛盾.近世代数是很久以前的事情了,没那么熟练了,仅供参考吧.你补充我也补充:关于1,既然1-1就没有讨论价值了.关于2,0->1那么a->-1,-a->-1不是1-1的.关于5,设这个无限阶的元是a,那么a,a^2,a^3…a^n,…有无穷多个元素.从而与有限群矛盾.有点不熟练,抱歉.

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近世代数问题: 同态映射必须是满射吗?只有A和B存在同态满射时，才能称A和B同态你的意思应该是A,B间存在f是一个同态映射，但是不是满射A中的交换律和结合律不能完全映射到B中，反例构造很简单，取A是2元Abel群，B包含A且在A的基础上加上几个元素使之不能满足交换律和结合律由于你的条件没有写B必须是群，所以这样的集合B是容易构造的，f取恒等映射，反例完成但如果A，B同态是可以证明A中的交换律结合律可以完全映射到B中！