梯形规则和辛普森规则是牛顿-科特规则的特例, 它们使用更高阶的函数进行数值积分。
让抛物线代表图形的曲线。
y =αx2+βx+γ…………。方程1
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在此方法下, 间隔-h≤x≤h的面积为
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【MATLAB辛普森法则】曲线穿过三个点(-h, y0), (0, y1)和(h, y2)。然后, 通过等式, 我们有：
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现在我们可以评估系数α, β, γ并以h, y0, y1和y2表示等式2。
这可以通过以下过程完成。
通过将等式3的(b)代入(a)和(c)并重新排列, 我们得到
αx2-βh= y0-y1 … . equation4
αx2+βh= y2-y1….equation5
将方程式4与方程式5相加得出
2αh2= y0-2y1 + y2 … … 等式6
通过代入等式2, 我们得到
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现在, 我们可以将方程式8应用于任意曲线y = f(x)的连续段, 其间隔为a≤x≤b, 如图所示。
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我们观察到抛物线可以通过曲线的两端和中点近似于曲线宽度2h的每个线段。因此, 线段AB下的面积为
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同样, BC段下的面积为
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等等。将每个细分下的区域相加后, 我们得到
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由于每个线段的宽度为2h, 因此要应用辛普森数值积分法则, 细分的数量n必须为偶数。此限制不适用于数值积分的梯形规则。
方程11的值可从
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