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《python机器学习从入门到高级》：线性回归和正则化

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本专栏主要从代码角度介绍如何使用python实现机器学习算法,想要了解具体机器学习理论的小伙伴，可以看我的这个专栏：统计学习方法

文章目录

《python机器学习从入门到高级》：线性回归和正则化
1.线性回归
2.正则化
- 2.1岭回归
- 2.2 Lasso回归
- 2.3 early stopping

上一章中我们以minist数据集演示了如何实现一个分类算法，并进行选择。这一章中，我们将介绍广义线性模型。广义线性模型是机器学习的基础部分，也是很多其他算法的延伸。本文主要介绍一下如何实现简单的线性回归和正则化方法?

具体理论部分可以看这篇文章：https://blog.csdn.net/weixin_45052363/article/details/123610610
1.线性回归通常，线性回归通过简单计算输入特征的加权和，加上一个称为偏差项（也称为截距项）的常数来进行预测。具体公式如下:
y ^ = β 0 + β 1 X 1 + . . . + β n X n \hat{y}=\beta_0 + \beta_1 X_1+...+\beta_n X_n y^?=β0?+β1?X1?+...+βn?Xn?
接下来我们看看具体如何实现线性回归模型

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

# 生成模拟数据集 X = np.random.randn(100,1) y = 3*X+4+np.random.randn(100,1)

观察一下生成的数据集

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plt.plot(X, y, "b.") plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18) plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18) plt.axis([0, 2, 0, 15]) plt.savefig("generated_data_plot") plt.show()

可以看出数据呈现比较明显的线性趋势，下面使用LinearRegression实现对线性模型的训练

from sklearn.linear_model import LinearRegression lin_reg = LinearRegression() lin_reg.fit(X, y) a = lin_reg.intercept_ b = lin_reg.coef_ a,b#回归系数和截距

(array([3.86880209]), array([[3.0229374]]))

下面根据训练好的线性回归模型进行预测，

X_new = np.array([[0], [2]]) y_predict = lin_reg.predict(X_new) y_predict

array([[3.86880209], [9.91467688]])

将预测结果可视化如下

plt.plot(X_new, y_predict, "r-", linewidth=2, label="Predictions") plt.plot(X, y, "b.") plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18) plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18) plt.legend(loc="upper left", fontsize=14) plt.axis([0, 2, 0, 15]) plt.show()

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可以看出拟合结果还不错，下面我们绘制一下Learning curve：随着模型训练样本的变化观察训练集和测试集的误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error from sklearn.model_selection import train_test_split ''' 定义learning_curves函数 ''' def plot_learning_curves(model, X, y): X_train, X_val, y_train, y_val = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=10)#将数据分为训练集合验证集 train_errors, val_errors = [], []#定义训练误差和验证误差 for m in range(1, len(X_train) + 1): model.fit(X_train[:m], y_train[:m])#根据训练集大小训练模型 y_train_predict = model.predict(X_train[:m])#拟合训练集 y_val_predict = model.predict(X_val)#拟合验证集 train_errors.append(mean_squared_error(y_train[:m], y_train_predict))#计算训练集MSE val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))#计算测试集MSE plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r-", linewidth=2, label="train")#绘制训练集RMSE plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="val")#绘制测试集RMSE plt.legend(loc="upper right", fontsize=14)#增加图例 plt.xlabel("Training set size", fontsize=14) plt.ylabel("RMSE", fontsize=14)

lin_reg = LinearRegression() plot_learning_curves(lin_reg, X, y) plt.axis([0, 80, 0, 3]) plt.show()

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从Learning Curve看出，随着样本增加val不断下降，对于该数据集而言，当训练集为80时，训练集和测试集误差基本相等。
2.正则化 过拟合是机器学习中一个非常重要的问题，减少过拟合有很多方法，例如正则化、增加数据或early stopping等对于线性模型而言，正则化通常通过约束模型系数来实现。接下来主要介绍岭回归、Lasso回归、early stopping
2.1岭回归岭回归相对于最小二乘法的优势来源于能通过 λ \lambda λ来权衡偏差方差。随着 λ \lambda λ 的增加，岭回归拟合的灵活性降低，导致方差减小，但偏差增大。岭回归和最小二乘法估计非常类似，但是最小化的损失函数不同，这里是让下述损失函数最小：
∑ i = 1 n ( y i ? β 0 ? ∑ j = 1 p β j x i j ) 2 + λ ∑ j = 1 p β j 2 = R S S + λ ∑ j = 1 p β j 2 \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_jx_{ij})^2+\lambda\sum_{j=1}^{p}\beta_j^2=RSS+\lambda\sum_{j=1}^{p}\beta_j^2 i=1∑n?(yi??β0??j=1∑p?βj?xij?)2+λj=1∑p?βj2?=RSS+λj=1∑p?βj2?
λ ≥ 0 \lambda \geq 0 λ≥0.其中 λ ∑ j = 1 p β j 2 \lambda\sum_{j=1}^{p}\beta_j^2 λ∑j=1p?βj2?是惩罚项.此时如果 β j \beta_j βj?越小，那么损失函数越小，以此来控制回归系数。当 λ = 0 \lambda=0 λ=0时，相当于就是普通的线性回归，当 λ \lambda λ接近无穷大时，所有的回归系数均为0.因此对于每一个 λ \lambda λ都会产生一系列不同的回归系数。因此如何选择 λ \lambda λ是一个需要思考的问题，下面我们看看如何实现岭回归

#生成数据集 np.random.seed(42)#设置随机种子，保障代码重用性 m = 20 X = 3 * np.random.rand(m, 1) y = 1 + 0.5 * X + np.random.randn(m, 1) / 1.5 X_new = np.linspace(0, 3, 100).reshape(100, 1)

#训练模型 from sklearn.linear_model import Ridge ridge_reg = Ridge(alpha=1, random_state=42) ridge_reg.fit(X, y) ridge_reg.get_params()

{'alpha': 1, 'copy_X': True, 'fit_intercept': True, 'max_iter': None, 'normalize': False, 'random_state': 42, 'solver': 'auto', 'tol': 0.001}

上述是我们去alphl=1的情况下的拟合值，但是alpha是一个超参数，我们有时候需要对进行交叉验证等方法来进行选择，下面我们来看一下alphl分别为1,10,100的拟合结果图

![output_25_0](output_25_0.pngfrom sklearn.linear_model import Ridge from sklearn.pipeline import Pipeline from sklearn.preprocessing import StandardScaler def plot_model(model_class, alphas, **model_kargs): for alpha, style in zip(alphas, ("b-", "g--", "r:")): model = model_class(alpha, **model_kargs) if alpha > 0 else LinearRegression() model.fit(X, y) y_new_regul = model.predict(X_new) lw = 2 if alpha > 0 else 1 plt.plot(X_new, y_new_regul, style, linewidth=lw, label=r"$\alpha = {}$".format(alpha)) plt.plot(X, y, "b.", linewidth=3) plt.legend(loc="upper left", fontsize=15) plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18) plt.axis([0, 3, 0, 4])plt.figure(figsize=(8,4)) plot_model(Ridge, alphas=(0, 10, 100), random_state=42) plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18) plt.savefig("ridge_regression_plot") plt.show()

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上图是在 α \alpha α取不同值的拟合结果，可以发现，当 α \alpha α越大，回归曲线越平缓，因为对这些系数的约束越大
2.2 Lasso回归岭回归确实有一个明显的缺点。岭回归将在最终模型中包含所有预测变量。惩罚项只会让所有的回归系数接近于0，但是不会等于0(除非 λ = ∞ \lambda=\infty λ=∞)。这对预测准确性来说可能没有影响，但在变量数量相当大的情况下，模型的可解释性有待考量。然后Lasso回归相对而言可以解决这个问题。与岭回归不同的是，Lasso回归可以选择最重要的几个特征拟合模型，可以让某些不重要变量的系数等于零，从而达到降纬的效果,基本公式如下：
∑ i = 1 n ( y i ? β 0 ? ∑ j = 1 p β j x i j ) 2 + λ ∑ j = 1 p ∣ β j ∣ = R S S + λ ∑ j = 1 p ∣ β j ∣ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_jx_{ij})^2+\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta_j|=RSS+\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta_j| i=1∑n?(yi??β0??j=1∑p?βj?xij?)2+λj=1∑p?∣βj?∣=RSS+λj=1∑p?∣βj?∣

from sklearn.linear_model import Lassoplt.figure(figsize=(8,4))plot_model(Lasso, alphas=(0, 0.1, 1), random_state=42) plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)plt.savefig("lasso_regression_plot") plt.show()

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2.3 early stopping 正则化迭代学习算法（如梯度下降）的另一种非常不同的方法是，一旦验证误差达到最小值，就停止训练，被称为early stopping该方法通过批量梯度下降进行训练。随着时间的推移，算法学习，训练集上的预测误差（RMSE）和验证集上的预测误差都会下降。但过了一段时间后，验证误差又会上升（导致了过拟合）。这个时候我们可以做的是提取结束训练，当模型不会达到过拟合的程度。也被称为“免费的午餐”，下面我们来看看具体是如何实现的

# 生成数据集 np.random.seed(42) m = 100 X = 6 * np.random.rand(m, 1) - 3 y = 2 + X + 0.5 * X**2 + np.random.randn(m, 1) X_train, X_val, y_train, y_val = train_test_split(X[:50], y[:50].ravel(), test_size=0.5, random_state=10)

from copy import deepcopy from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures poly_scaler = Pipeline([ ("poly_features", PolynomialFeatures(degree=90, include_bias=False)),#生成多项式回归 ("std_scaler", StandardScaler()) ])X_train_poly_scaled = poly_scaler.fit_transform(X_train)#标准化处理 X_val_poly_scaled = poly_scaler.transform(X_val)#标准化sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=1, tol=-np.infty, warm_start=True, penalty=None, learning_rate="constant", eta0=0.0005, random_state=42)#拟合SGD回归minimum_val_error = float("inf") best_epoch = None#定义最优的迭代次数 best_model = None#定义最优的模型 for epoch in range(1000): sgd_reg.fit(X_train_poly_scaled, y_train)# 拟合模型 y_val_predict = sgd_reg.predict(X_val_poly_scaled)#预测 val_error = mean_squared_error(y_val, y_val_predict)#计算MSE if val_error < minimum_val_error: minimum_val_error = val_error best_epoch = epoch best_model = deepcopy(sgd_reg) best_epoch,best_model

(239, SGDRegressor(eta0=0.0005, learning_rate='constant', max_iter=1, penalty=None, random_state=42, tol=-inf, warm_start=True))

【python|《python机器学习从入门到高级》（线性回归和正则化（含源码））】可以看出第239次迭代时，拟合效果最好，下面进行可视化

sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=1, tol=-np.infty, warm_start=True, penalty=None, learning_rate="constant", eta0=0.0005, random_state=42)n_epochs = 500 train_errors, val_errors = [], [] for epoch in range(n_epochs): sgd_reg.fit(X_train_poly_scaled, y_train) y_train_predict = sgd_reg.predict(X_train_poly_scaled) y_val_predict = sgd_reg.predict(X_val_poly_scaled) train_errors.append(mean_squared_error(y_train, y_train_predict)) val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))best_epoch = np.argmin(val_errors) best_val_rmse = np.sqrt(val_errors[best_epoch])plt.annotate('Best model', xy=(best_epoch, best_val_rmse), xytext=(best_epoch, best_val_rmse + 1), ha="center", arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05), fontsize=16, ) plt.plot([0, n_epochs], [best_val_rmse, best_val_rmse], "k:", linewidth=2) plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="Validation set") plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r--", linewidth=2, label="Training set") plt.legend(loc="upper right", fontsize=14) plt.xlabel("Epoch", fontsize=14) plt.ylabel("RMSE", fontsize=14) plt.savefig("early_stopping_plot") plt.show()