前言

前面对 map/multimap/set/multiset 进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的 ，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N) ，因此 map 、 set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。博主的重点是实现AVL树的插入

目录
AVL 树
AVL树的概念
为什么这里的平衡不是指的控制两边高度完全相等，而是控制它们的绝对值不超过1呢？
AVL树节点的定义
AVL树的插入
如何调节平衡因子？
AVL树的旋转
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
抽象图及其具象图
代码实现：
2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
抽象图：
?编辑代码实现：
【C++|C++之AVL树】3. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
抽象图：
具象图举例：
平衡因子改变的三种情况：
代码实现：
4.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
抽象图：
平衡因子改变的三种情况：
代码实现：
总结：
AVL树的验证
1. 验证其为二叉搜索树
代码实现：
2. 验证其为平衡树
代码实现：
验证测试用例
AVL树的删除(了解)
AVL树的性能
AVL树完整代码
AVL 树 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但 如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当 于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之 差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。AVL树本质是通过高度控制它的平衡，所以AVL树也叫高度平衡二叉搜索树。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，AVL的实现不一定需要平衡因子，使用平衡因子是一种控制实现的方式。（这里的平衡因子我们定为右子树的高度-左子树的高度，当然左子树减右子树也是可以的）有了平衡因子我们就可以很方便的确定该树是不是AVL树。

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如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在，搜索时 间复杂度 O( log2N ) 。 为什么这里的平衡不是指的控制两边高度完全相等，而是控制它们的绝对值不超过1呢？

答：因为我们不能保证每棵树都做到左右字树相等; 有1个节点的树可以做到相等，但是有2个节点的树无论如何也是都做不到相等的...

AVL树节点的定义

template struct AVLTreeNode { AVLTreeNode* _left; AVLTreeNode* _right; AVLTreeNode* _parent; //更新平衡因子需要 pair _kv; //需要一个pair int _bf; //平衡因子 balance factor AVLTreeNode(const pair& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _bf(0) , _kv(kv) {}};

AVL树的插入

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步：1.按照二叉搜索树的方式插入新节点2.调整节点的平衡因子

如何调节平衡因子？

新增节点的平衡因子始终是0，而且新增的节点不会影响它的兄弟，而是会影响它的祖先节点的平衡因子，出现新增节点，我们就去更新平衡因子，如果更新完后没有问题直接结束，如果更新完平衡因子出现2/-2后就代表出现问题了，就需要我们进行处理。

控制平衡：1.更新平衡因子 2.出现异常的平衡因子，那么需要旋转平衡处理
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1、cur==parent->leftparent->bf++
2、cur==parent->right parent->bf--
注意：我们规定的平衡因子是右子树-左子树，所以cur==parent->leftparent->bf++，反之
3、更新以后，parent->bf==0, 更新结束；说明更新前parent->bf是1或者是-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所在字树的高度不变
4、更新以后，parent->bf==1/-1，说明继续往上更新。说明更新前parent->bf是0，现在变成1或者-1，说明有一边字树变高了，parent所在子树的高度变了。
5、更新以后，parent->bf==2/-2，parent所在子树已经不平衡了需要旋转处理。

eg:
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代码实现：

bool Insert(const pair& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } }cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; //把三叉链链上 } else { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; }//控制平衡 //1.更新平衡因子---更新新增节点到根节点的祖先路径 //2.出现异常的平衡因子，那么需要旋转平衡处理while (parent) //parent等于空就结束，此时cur就在根 { if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; }if (parent->_bf == 0) { //更新以后，parent->bf==0, 更新结束； //说明更新前parent->bf是1或者是-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所在子树的高度不变 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { //更新以后，parent->bf==1/-1，说明继续往上更新。 //说明更新前parent->bf是0，现在变成1或者-1，说明有一边子树变高了，parent所在子树的高度变了。 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { //旋转处理 } else { //说明插入更新平衡因子之前，数中的平衡因子就有问题了,直接终止程序 assert(false); }}return true; }

AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋 抽象图及其具象图

文章图片

如果它作为局部的子树对再上一层是没有任何影响的，就不需要在继续向上更新了，

文章图片

代码实现：
是这么简单吗？看似好像没啥问题，但是别忘了我们这里的节点是三叉链，还存在着一个parent。

文章图片

此时我们将三叉链链接上，还会有其他问题吗？

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如果我们旋转的树是一颗局部的子树：原来我们的根是60，现在我们的根是30，但是旋转以后60的parent还指向着这60，所以我们要将60的parent指向30.

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void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) //不为空才链接，否则就出现空指针问题 { subLR->_parent = parent; }Node* parentParent = parent->_parent; //提前记录一下parent的父亲subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if (parent == _root) //如果是一颗独立的树 { _root = subL; _root->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) //改变parent父亲的链接 { parentParent->_left = subL; } else { parentParent->_right = subL; }subL->_parent = parentParent; //注意三叉链接 }//旋转完后平衡因子变成0 subL->_bf = 0; parent->_bf = 0; }

再举个栗子帮助大家理解

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2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋 抽象图：

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代码实现：

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void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) { subRL->_parent = parent; }Node* parentParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (parent == _root) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = subR; } else { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; }subR->_bf = 0; parent->_bf = 0; }

3. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋 抽象图：

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具象图举例：

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平衡因子改变的三种情况：

文章图片

代码实现：

void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->_right); RotateL(parent); if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 0) //可以不写 { parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else { assert(false); } }

4.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋 抽象图：
先将30左单旋，再将60右单旋

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平衡因子改变的三种情况：

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代码实现：

void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } else { parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } }

总结：

假如以 pParent 为根的子树不平衡，即 pParent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR当 pSubR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋当 pSubR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL当 pSubL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋当 pSubL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

AVL树的验证AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树代码实现：

void InOrder() { _InOrder(_root); } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->_right); }

2. 验证其为平衡树

• 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
• 节点的平衡因子是否计算正确

代码实现：

bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } int Height(Node* root) { if (root == nullptr) { return 0; }int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; //不能写反 } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; }//对当前树进行检查 int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) { //平衡因子异常 cout << root->_kv.first << "现在是:" << root->_bf << endl; cout << root->_kv.first << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl; return false; }return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); }

验证测试用例

void TestAVLTree() { AVLTree t; //int a[] = { 5,4,3,2,1,0 }; //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 }; for (auto e : a) { t.Insert(make_pair(e, e)); cout << "Insert" << e << ":" << t.IsBalance() << endl; } t.InOrder(); //中序遍历是可以验证是搜索二叉树 cout << t.IsBalance() << endl; //判断每棵树是否平衡}

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AVL树的删除(了解) 因为 AVL 树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构 - 用面向对象方法与 C++ 描述》殷人昆版。AVL树的性能 AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 ，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即logN。 但是如果要对AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的( 即不会改变 ) ，可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。AVL树完整代码

#pragma once #include #include using namespace std; template struct AVLTreeNode { AVLTreeNode* _left; AVLTreeNode* _right; AVLTreeNode* _parent; //更新平衡因子需要 pair _kv; //需要一个pair int _bf; //平衡因子 balance factor AVLTreeNode(const pair& kv) :_left(nullptr) , _right(nullptr) , _parent(nullptr) , _bf(0) , _kv(kv) {}}; template class AVLTree { typedef AVLTreeNode Node; public: AVLTree() :_root(nullptr) {} bool Insert(const pair& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); return true; } Node* parent = nullptr; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else { return false; } }cur = new Node(kv); if (parent->_kv.first < kv.first) { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; //把三叉链链上 } else { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; }//控制平衡 //1.更新平衡因子---更新新增节点到根节点的祖先路径 //2.出现异常的平衡因子，那么需要旋转平衡处理while (parent) //parent等于空就结束，此时cur就在根 { if (cur == parent->_left) { parent->_bf--; } else { parent->_bf++; }if (parent->_bf == 0) { //更新以后，parent->bf==0, 更新结束； //说明更新前parent->bf是1或者是-1，现在变成0，说明填上了矮的那边，parent所在字树的高度不变 break; } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) { //更新以后，parent->bf==1/-1，说明继续往上更新。 //说明更新前parent->bf是0，现在变成1或者-1，说明有一边字树变高了，parent所在字树的高度变了。 cur = parent; parent = parent->_parent; } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) { //旋转处理 if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋 { RotateR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //左单旋 { RotateL(parent); } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) { RotateLR(parent); } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) { RotateRL(parent); } else { assert(false); }break; } else { //说明插入更新平衡因子之前，数中的平衡因子就有问题了,直接终止程序 assert(false); }}return true; } void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; if (subLR) //不为空才链接，否则就出现空指针问题 { subLR->_parent = parent; }Node* parentParent = parent->_parent; //提前记录一下parent的父亲subL->_right = parent; parent->_parent = subL; if (parent == _root) //如果是一颗独立的树 { _root = subL; _root->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) //改变parent父亲的链接 { parentParent->_left = subL; } else { parentParent->_right = subL; }subL->_parent = parentParent; //注意三叉链接 }//旋转完后平衡因子变成0subL->_bf = parent->_bf = 0; } void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; if (subRL) { subRL->_parent = parent; }Node* parentParent = parent->_parent; subR->_left = parent; parent->_parent = subR; if (parent == _root) { _root = subR; _root->_parent = nullptr; } else { if (parentParent->_left == parent) { parentParent->_left = subR; } else { parentParent->_right = subR; } subR->_parent = parentParent; }subR->_bf = parent->_bf = 0; } void RotateLR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; RotateL(parent->_left); RotateR(parent); if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } else if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } else { parent->_bf = 0; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } } void RotateRL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; RotateR(parent->_right); RotateL(parent); if (bf == 1) { parent->_bf = -1; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } else if (bf == 0) //可以不写 { parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; subRL->_bf = 0; } else { assert(false); } } void InOrder() { _InOrder(_root); } void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl; _InOrder(root->_right); } bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); } int Height(Node* root) { if (root == nullptr) { return 0; }int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1; //不能写反 } bool _IsBalance(Node* root) { if (root == nullptr) { return true; }//对当前树进行检查 int leftHeight = Height(root->_left); int rightHeight = Height(root->_right); if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) { //平衡因子异常 cout << root->_kv.first << "现在是:" << root->_bf << endl; cout << root->_kv.first << "应该是:" << rightHeight - leftHeight << endl; return false; }return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right); }private: Node* _root; }; void TestAVLTree() { AVLTree t; //int a[] = { 5,4,3,2,1,0 }; //int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 }; int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 }; //插入14的时候6的平衡因子出现问题了。 for (auto e : a) { t.Insert(make_pair(e, e)); cout << "Insert" << e << ":" << t.IsBalance() << endl; } t.InOrder(); //中序遍历是可以验证是搜索二叉树 cout << t.IsBalance() << endl; //判断每棵树是否平衡 //有没有可能树的形状对但是平衡因子不对 }

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