Java数据结构与算法|Java数据结构与算法（树）——平衡二叉树（AVL树）算法|数据结构|java|二叉树

文章目录

一、定义
二、不平衡情况及处理方法
- - 1、左左（右旋）
  - 2、右右（左旋）
  - 3、双旋
三、代码实现
- - 1、节点类抽象数据类型
  - 2、节点类
  - 3、平衡二叉树测试类

一、定义平衡二叉查找树（Balanced Binary Sort Tree，BBST）简称平衡二叉树，是一种高度平衡的二叉树，由苏联数学家 Adele - Veliki 和 Landis 在 1962 年提出，故又命名为 AVL 树。
平衡二叉树的性质：首先是一种二叉查找树，并且其中每个节点的左子树和右子树的高度相差至多等于 1。
平衡因子BF（Balance Factor）——将二叉树上节点的左子树高度减去右子树高度的值称为平衡因子。平衡二叉树上，所有节点的平衡因子只可能是 -1，0，1。
最小不平衡子树——距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于 1 的节点为根的子树。以下图为例，左图是一棵平衡二叉树，当插入节点 1 时，节点 4 的 BF = 2（左子树高度 - 右子树高度 = 2 - 0 = 2），则以节点 4 为根节点的子树即为最小不平衡子树。

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二、不平衡情况及处理方法构建平衡二叉树的基本思想就是在构建二叉搜索树的过程中，每当插入一个新节点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是，则在保持二叉搜索树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各节点之间的链接关系，进行相应的旋转调整，使之成为新的平衡二叉树。
注意：
不平衡的情况其实千变万化，比如左边深度为一万，右边深度为 0。但是我们考虑的是，在平衡二叉树中修改一个节点以后引起的不平衡，所以，左右子树的差的绝对值只能为 2。
旋转的情况：
（1）单旋：
最小不平衡子树的根节点的 BF 与它的子树的 BF 符号相同时，需要一次旋转。最小不平衡子树的根节点的 BF 大于 1 时，右旋；小于 -1 时，左旋。
（2）双旋：
最小不平衡子树的根节点的 BF 与它的子树的 BF 符号相反时，需要两次旋转，即先对子树进行一次旋转后使得 BF 符号相同之后，再反向旋转一次完成平衡。
1、左左（右旋）
插入节点 1 时，原平衡二叉树失衡，右旋过程图示如下：

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最小不平衡子树的根节点 6 的 BF = 2，左子树根节点 4 的 BF = 1，同号且大于 1，右旋。具体操作：

当前根节点的左子树的右子树变成当前根节点的左子树（因为它满足大于左子树且小于根节点的要求）；
原根节点的左子树变成新的根节点；
原根节点变成新根节点的右子树。

2、右右（左旋）
插入节点 8 时，原平衡二叉树失衡，左旋过程图示如下：

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最小不平衡子树的根节点 4 的 BF = -2，右子树根节点 6 的 BF = -1，同号且小于 -1，左旋。具体操作：

当前根节点的右子树的左子树变成当前根节点的右子树；
原根节点的右子树变成新的根节点；
原根节点变成新根节点的左子树。

3、双旋
如下图，插入节点 8 时，最小不平衡子树的根节点 9 的 BF = 2，左子树根节点 6 的 BF = -1，反号，仅一次单旋不能解决问题。

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解决方法：
【Java数据结构与算法|Java数据结构与算法（树）——平衡二叉树（AVL树）】双旋：最小不平衡子树的左子树根节点 6 的 BF = -1，先左旋最小不平衡子树的左子树，再右旋最小不平衡子树。如下图所示：

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先右旋再左旋的情况类似。
三、代码实现 1、节点类抽象数据类型

public interface AVLNodeADT { void insert(AVLNode node); // 向平衡二叉树插入节点 void preOrder(); // 前序遍历 void infixOrder(); // 中序遍历 void postOrder(); // 后序遍历 AVLNode find(int value); // 查找 int getHeight(); // 当前节点的高度 int getLeftHeight(); // 左子树的高度 int getRightHeight(); // 右子树的高度 void leftRotate(); // 左旋 void rightRotate(); // 右旋 }

2、节点类

public class AVLNode implements AVLNodeADT{ private int value; private AVLNode left; private AVLNode right; public AVLNode(){} public AVLNode(int value){ this.value = https://www.it610.com/article/value; } public int getValue() { return value; } public void setValue(int value) { this.value = value; } public AVLNode getLeft() { return left; } public void setLeft(AVLNode left) { this.left = left; } public AVLNode getRight() { return right; } public void setRight(AVLNode right) { this.right = right; } public String toString(){ return value +" "; }// 方便打印 @Override // 插入:(1)插入节点(2)检查是否需要调整平衡 public void insert(AVLNode node) { // (1)插入节点 if(node == null)// 插入节点为空，直接返回 return; if(node.value < this.value){// 插入节点值小于根节点的值，递归插入左子树 if(this.left == null) this.setLeft(node); else this.left.insert(node); }else if(node.value > this.value){// 插入节点值大于根节点的值，递归插入右子树 if(this.right == null) this.setRight(node); else this.right.insert(node); }else{// 相等说明节点已存在，不用再插入 return; }// (2)检查是否需要调整平衡 int BF = this.getLeftHeight() - this.getRightHeight(); // 平衡因子 if(BF < -1){// 左旋 // 若其右子树的BF > 1,需要双旋; 否则只需单旋 int rightBF = this.right.getLeftHeight() - this.right.getRightHeight(); if(this.right != null && rightBF > 1){ this.right.rightRotate(); // 先对该节点的右子树进行右旋 } this.leftRotate(); // 再对当前节点进行左旋 }else if(BF > 1){// 右旋 // 若其左子树的BF < -1,需要双旋; 否则只需单旋 int leftBF = this.left.getLeftHeight() - this.left.getRightHeight(); if(this.left != null && leftBF < -1){ this.left.leftRotate(); // 先对该节点的左子树进行左旋 } this.rightRotate(); // 再对当前节点进行右旋 }else{// 平衡，不用调整 return; } } @Override // 前序遍历 public void preOrder() { System.out.print(this); if(this.getLeft() != null) this.left.preOrder(); if(this.getRight() != null) this.right.preOrder(); } @Override // 中序遍历 public void infixOrder() { if(this.getLeft() != null) this.left.infixOrder(); System.out.print(this); if(this.getRight() != null) this.right.infixOrder(); } @Override // 后序遍历 public void postOrder() { if(this.getLeft() != null) this.left.postOrder(); if(this.getRight() != null) this.right.postOrder(); System.out.print(this); } @Override // 查找 public AVLNode find(int value) { if(value < this.value){// 搜索左子树 if(this.left == null) return null; else return this.left.find(value); }else if(value > this.value){ if(this.right == null) return null; else return this.right.find(value); }else{ return this; } } @Override // 获取当前节点的高度(左子树高度和右子树高度较大值 + 1) public int getHeight() { // 666 return Math.max(this.left == null ? 0 : this.left.getHeight(), this.right== null ? 0 : this.right.getHeight()) + 1; } @Override // 获取左子树的高度 public int getLeftHeight() { return this.left == null ? 0 : this.left.getHeight(); } @Override // 获取右子树的高度 public int getRightHeight() { return this.right== null ? 0 : this.right.getHeight(); } @Override /* * 左旋： *(1)当前根节点的右子树的左子树变成当前根节点的右子树； *(2)原根节点的右子树变成根节点； *(3)原根节点变成新左子树。 */ public void leftRotate() { // (1)当前根节点的右子树的左子树变成当前根节点的右子树； AVLNode node = new AVLNode(this.value); // 以当前根节点的值创建一个新节点，作为旋转之后根节点的左子树 node.left = this.left; // 新节点的左子树还是其原来的左子树 node.right = this.right.left; // 当前根节点的右子树的左子树变成当前根节点的右子树// (2)原根节点的右子树变成新根节点； this.value = https://www.it610.com/article/this.right.value; this.right = this.right.right; // 新根节点的右子树还是其原来的右子树// (3)原根节点变成新根节点的左子树。 this.left = node; } @Override /* * 右旋： *(1)当前根节点的左子树的右子树变成当前根节点的左子树； *(2)原根节点的左子树变成新根节点， *(3)原根节点变成新根节点的右子树。 */ public void rightRotate() { // (1)当前根节点的左子树的右子树变成当前根节点的左子树; AVLNode node = new AVLNode(this.value); // 以当前根节点的值创建新节点，作为旋转之后根节点的右子树 node.right = this.right; // 新节点的右子树还是其原来的右子树 node.left = this.left.right; // 当前根节点的左子树的右子树变成当前根节点的左子树// (2)原根节点的左子树变成新根节点; this.value = this.left.value; this.left = this.left.left; // 新根节点的左子树还是其原来的左子树// (3)原根节点变成新根节点的右子树。 this.right = node; } }

3、平衡二叉树测试类

public class AVL { private AVLNode root; public AVL(){} public AVL(AVLNode root){ this.root = root; } // 插入 public void insert(AVLNode node){ if(root == null) root = node; else root.insert(node); } // 前序遍历 public void preOrder(){ if(root == null){ System.out.println("The tree is empty!"); return; }else{ root.preOrder(); } System.out.println(); } // 中序遍历 public void infixOrder(){ if(root == null){ System.out.println("The tree is empty!"); return; }else{ root.infixOrder(); } System.out.println(); } // 后序遍历 public void postOrder(){ if(root == null){ System.out.println("The tree is empty!"); return; }else{ root.postOrder(); } System.out.println(); } // 查找节点 public AVLNode find(int value){ if(root == null){ System.out.println("The tree is empty!"); return null; } return root.find(value); } // 树的高度 public int getHeight(){ if(root == null) return 0; return root.getHeight(); } public static void main(String[] args) { AVL tree = new AVL(); tree.insert(new AVLNode(2)); tree.insert(new AVLNode(1)); tree.insert(new AVLNode(6)); tree.insert(new AVLNode(4)); tree.insert(new AVLNode(3)); tree.insert(new AVLNode(5)); tree.insert(new AVLNode(7)); tree.infixOrder(); tree.preOrder(); tree.postOrder(); } }

关于单旋（左旋，右旋）与双旋的处理都在添加节点后完成。添加一个节点，就对新的树进行判断是否需要"平衡"，所以添加节点的过程就是平衡二叉树的构建过程。上面的测试程序中，添加了 7 个数据，其构建平衡二叉树的过程图示如下：