Python 图_系列之基于<链接表;实现无向图最短路径搜索 _无向图

敢说敢作敢为，无怨无恨无悔。这篇文章主要讲述Python 图_系列之基于< 链接表; 实现无向图最短路径搜索相关的知识，希望能为你提供帮助。
图的常用存储方式有 2 种：

邻接炬阵
链接表

邻接炬阵的优点和缺点都很明显。优点是简单、易理解，对于大部分图结构而言，都是稀疏的，使用炬阵存储空间浪费就较大。
链接表的存储相比较邻接炬阵，使用起来更方便，对于空间的使用是刚好够用原则，不会产生太多空间浪费。操作起来，也是简单。
本文将以链接表方式存储图结构，在此基础上实现无向图最短路径搜索。
1. 链接表链接表的存储思路：
使用链接表实现图的存储时，有主表和子表概念。

主表：用来存储图对象中的所有顶点数据。
子表：每一个顶点自身会维护一个子表，用来存储与其相邻的所有顶点数据。

如下图结构中有 5 个顶点，使用链接表保存时，会有主表1张，子表5张。链接表的优点是能够紧凑地表示稀疏图。

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在 python 中可以使用列表嵌套实现链接表，这应该是最简单的表达方式。

g = [ [A0, [(B1, 3), (D3, 5)]], [B1, [(C2, 4)]], [C2, [(D3, 6), (E4, 1)]], [D3, [(E4, 2)]], [E4, [(B1, 7)]], ]

在此基础上，可以做一些简单的常规操作。
查询所有顶点：

for node in g: print(node[0],end= )

查询顶点及其相邻顶点：

for node in g: print(-------------------) print(node[0], ":", end=) edges = node[1] for e in edges: v, w = e print(v, w, end=; ) print()

当顶点和相邻顶点之间的关系很复杂时，这种层层嵌套的存储格式会让人眼花缭乱。即使要使用这种嵌套方式，那也应该选择 Python 中的字典类型，对于查询会方便很多。

g = A0:B1: 3, D3: 5, B1: C2: 4, C2: D3: 6, E4: 1, D3: E4:2, E4: B1: 7

如上结构，在查询时，无论是方便性还是性能，都要强于完全的列表方案。
查询所有顶点：

for node in g.keys(): print(node,end=" ")

查询与某一顶点相邻的顶点时，只需要提供顶点名称就可以了。

print("查询与 A0 项点有连接的其它顶点") for k, v in g.get(A0).items(): print((k, v), end="; ")

以上的存储方案，适合于演示，并不适合于开发环境，因顶点本身是具有特定的数据含义（如，可能是城市、公交车站、网址、路由器……），且以上存储方案让顶点和其相邻顶点的信息过度耦合，在实际运用时，会牵一发而动全身。
也许一个微不足道的修改，会波动到整个结构的更新。
所以，有必要引于 OOP 设计理念，让顶点和图有各自特定数据结构，通过 2 种类类型可以更好地体现图是顶点的集合，顶点和顶点之间的多对多关系。
项点类：

class Vertex: def __init__(self, name, v_id=0): # 顶点的编号 self.v_id = v_id # 顶点的名称 self.v_name = name # 是否被访问过:False 没有 True:有 self.visited = False # 与此顶点相连接的其它顶点 self.connected_to =

顶点类结构说明：

visited：用于搜索路径算法中，检查节点是否已经被搜索过。
connected_to：存储与项点相邻的顶点信息。这里使用了字典，以顶点为键，权重为值。

图类：

class Graph:def __init__(self): # 一维列表，保存节点 self.vert_list = # 顶点个数 self.v_nums = 0 # 使用队列模拟队列或栈，用于路径搜索算法 self.queue_stack = [] # 保存搜索到的路径 self.searchPath = []

图类结构说明：

queue_stack：使用队列模拟栈或队列。用于路径搜索过程中保存临时数据。

searchPath：用于保存搜索到的路径数据。

2. 最短路径算法从图结构可知，从一个顶点到达另一个顶点，可不止一条可行路径，在众多路径我们总是试图选择一条最短路径，当然，需求不同，衡量一个路径是不是最短路径的标准也会不同。
如打开导航系统后，最短路径可能是费用最少的那条，可能是速度最快的那条，也可能是量程数最少的或者是红绿灯是最少的……
在无向图中，以经过的边数最少的路径为最短路径。
在有向加权图中，会以附加在每条边上的权重的数据含义来衡量。权重可以是时间、速度、量程数……
2.1 无向图最短路径算法
查找无向图中任意两个顶点间的最短路径长度，可以直接使用广度搜索算法。如下图求解 A0 ~ F5 的最短路径。

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广度优先搜索算法流程：
广度优先搜索算法的基本原则：以某一顶点为参考点，先搜索离此顶点最近的顶点，再搜索离最近顶点最近的顶点……以此类推，一层一层向目标顶点推进。
如从顶点 A0找到顶点 F5。先从离 A0 最近的顶点 B1、D3 找起，如果没找到，再找离 B1、D3 最近的顶点 C2、E4，如果还是没有找到，再找离 C2、E4 最近的顶点 F5。

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显然，广度优先搜索的最近搜索原则是符合先进先出思想的，具体算法实施时可以借助队列实现整个过程。
算法流程：

先确定起始点 A0。
找到 A0 的 2 个后序顶点 B1 、D3 （或者说 B1、D3的前序顶点是 A0），压入队列中。除去起点 A0，B1、D3 顶点属于第一近压入队列的节点。
从队列中搜索 B1 时，找到 B1 的后序顶点 C2 并压入队列。B1 是 C2 的前序顶点。
B1 搜索完毕后，在队列中搜索 B3 时，找到 B3 的后序顶点 E4 ，压入队列。因 B1 和 D3 属于第一近顶点，所以这 2个顶点的后序顶点 C2、E4 属于第二近压入队列，或说 A0-B1-C2、A0-D3-E4 的路径距离是相同的（都为 2）。
当搜索到 C2 时，没有后序顶点，此时队列没有压入操作。
当搜索到 E4 时，E4 有 2 个后序顶点 C2、F5，因 C2 已经压入过，所以仅压入 F5。因 F5 是由第二近顶点压入，所以 F5 是属于第三近压入顶点。

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编码实现广度优先算法：
在顶点类中添加如下几个方法：

class Vertex: def __init__(self, v_name, v_id=0): # 顶点的编号 self.v_id = v_id # 顶点的名称 self.v_name = v_name # 是否被访问过:False 没有 True:有 self.visited = False # 与此顶点相连接的其它顶点 self.connected_to = 添加邻接顶点 nbr_ver:相邻顶点 weight:无向无权重图，权重默认设置为 1def add_neighbor(self, nbr_ver, weight=1): # 以相邻顶点为键，权重为值 self.connected_to[nbr_ver] = weight显示与当前顶点相邻的顶点def __str__(self): return 与 0 顶点相邻的顶点有:1.format(self.v_name, str([(key.v_name, val) for key, val in self.connected_to.items()]))得到相邻顶点的权重def get_weight(self, nbr_v): return self.connected_to[nbr_v]判断给定的顶点是否和当前顶点相邻def is_neighbor(self, nbr_v): return nbr_v in self.connected_to

顶点类用来构造一个新顶点，并维护与相邻顶点的关系。
对图类中的方法做一下详细解释：
初始化方法：

class Graph: def __init__(self): # 一维列表，保存节点 self.vert_list = # 顶点个数 self.v_nums = 0 # 使用队列模拟队列或栈，用于路径搜索算法 self.queue_stack = [] # 保存搜索到的路径 self.searchPath = []

为图添加新顶点方法：

def add_vertex(self, vert): if vert.v_name in self.vert_list: # 已经存在 return # 顶点的编号内部生成 vert.v_id = self.v_nums # 所有顶点保存在图所维护的字典中，以顶点名为键，顶点对象为值 self.vert_list[vert.v_name] = vert # 数量增一 self.v_nums += 1

提供一个根据顶点名称返回顶点的方法：

根据顶点名找到顶点对象def find_vertex(self, v_name): if v_name in self.vert_list: return self.vert_list.get(v_name) # 查询所有顶点 def find_vertexes(self): return [str(ver) for ver in self.vert_list.values()]

添加顶点与相邻顶点的关系：此方法属于一个封装方法，本质是调用顶点自身的添加相邻顶点方法。

添加节点与节点之间的关系（边），如果是无权重图，统一设定为 1 def add_edge(self, from_v, to_v, weight=1): # 如果节点不存在 if from_v not in self.vert_list: self.add_vertex(from_v) if to_v not in self.vert_list: self.add_vertex(to_v) from_v.add_neighbor(to_v, weight)

图中核心方法：用来广度优先搜索算法查找顶点与顶点之间的路径

广度优先搜索def bfs_nearest_path(self, from_v, to_v): tmp_path = [] tmp_path.append(from_v) # 起始顶点不用压入队列 from_v.visited = True # from_v 顶点的相邻顶点压入队列 self.push_queue(from_v) while len(self.queue_stack) != 0: # 从队列中获取顶点 v_ = self.queue_stack.pop(0) if from_v.is_neighbor(v_): # 如果 v_ 是 from_v 的后序相邻顶点，则连接成一条中路径信息 tmp_path.append(v_) # 添加路径信息 self.searchPath.append(tmp_path) tmp_path = tmp_path.copy() tmp_path.pop() else: for path_ in self.searchPath: tmp_path = path_.copy() tmp = tmp_path[len(tmp_path) - 1] if tmp.is_neighbor(v_): tmp_path.append(v_) self.searchPath.append(tmp_path) if v_.v_id == to_v.v_id: break else: self.push_queue(v_)把某一顶点的相邻顶点压入队列def push_queue(self, vertex): # 获取 vertex 顶点的相邻顶点 for v_ in vertex.connected_to.keys(): # 检查此顶点是否压入过 if v_.visited: continue vertex.visited = True self.queue_stack.append(v_)

广度优先搜索算法有一个核心点，当搜索到某一个顶点后，需要找到与此顶点相邻的其它顶点，并压入队列中。push_queue() 方法就是做些事情的。如果某一个顶点曾经进过队列，就不要再重复压入队列了。
测试代码：

测试无向图最短路径if __name__ == __main__: # 初始化图 graph = Graph() # 添加节点 for v_name in [A, B, C, D, E, F]: v = Vertex(v_name) graph.add_vertex(v)# 添加顶点之间关系 v_to_v = [(A, B), (A, D), (B, C), (C, E), (D, E), (E, F)] # 无向图中每 2 个相邻顶点之间互为关系 for v in v_to_v: f_v = graph.find_vertex(v[0]) t_v = graph.find_vertex(v[1]) graph.add_edge(f_v, t_v) graph.add_edge(t_v, f_v)# 输出所有顶点 print(-----------顶点及顶点之间的关系-------------) for v in graph.find_vertexes(): print(v)# 查找路径 print(-------------广度优先搜索--------------------) # 起始点 f_v = graph.find_vertex(A) # 目标点 t_v = graph.find_vertex(F) # 广度优先搜索 graph.bfs_nearest_path(f_v, t_v) for path in graph.searchPath: weight = 0 for idx in range(len(path)): if idx != len(path) - 1: weight += path[idx].get_weight(path[idx + 1]) print(path[idx].v_name, end=-) print("的最短路径长度，", weight)

输出结果：

-----------顶点及顶点之间的关系------------- 与 A 顶点相邻的顶点有:[(B, 1), (D, 1)] 与 B 顶点相邻的顶点有:[(A, 1), (C, 1)] 与 C 顶点相邻的顶点有:[(B, 1), (E, 1)] 与 D 顶点相邻的顶点有:[(A, 1), (E, 1)] 与 E 顶点相邻的顶点有:[(C, 1), (D, 1), (F, 1)] 与 F 顶点相邻的顶点有:[(E, 1)] -------------广度优先搜索-------------------- A-B-的最短路径长度， 1 A-D-的最短路径长度， 1 A-B-C-的最短路径长度， 2 A-D-E-的最短路径长度， 2 A-B-C-E-的最短路径长度， 3 A-D-E-的最短路径长度， 2 A-B-C-E-的最短路径长度， 3 A-D-E-F-的最短路径长度， 3 A-B-C-E-F-的最短路径长度， 4 A-D-E-F-的最短路径长度， 3 A-B-C-E-F-的最短路径长度， 4

广度优先搜索算法也可以使用递归方案：

递归实现def bfs_nearest_path_dg(self, from_v, to_v):# 相邻顶点 self.push_queue(from_v) tmp_v = self.queue_stack.pop(0) if not tmp_v.visited: self.searchPath.append(tmp_v) if tmp_v.v_id == to_v.v_id: returnself.bfs_nearest_path_dg(tmp_v, to_v)

在无向图中，查找起始点到目标点的最短路径，使用广度优先搜索算法便可实现，但如果是有向加权图，可能不会称心如愿。因有向加权图中的边是有权重的。所以对于有向加权图则需要另择方案。
3. 总结【Python 图_系列之基于< 链接表; 实现无向图最短路径搜索】图数据结构的实现过程中会涉及到其它数据结构的运用。学习、使用图数据结构对其它数据结构有重新认识和巩固作用。