分治（详解残缺棋盘 —— Java代码实现）

一身转战三千里，一剑曾百万师。这篇文章主要讲述分治（详解残缺棋盘 —— Java代码实现）相关的知识，希望能为你提供帮助。

??分治??

??总体思想??
??使用条件??
??基本步骤??
??案例??

??覆盖残缺棋盘??
??大整数的乘法??
??Strassen矩阵乘法??

分治总体思想

将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k为子问题，如此递归进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来的问题的解

使用条件

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

能否利用分治法完全取决于子问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划

基本步骤

divide-and-conquer(P)
if (|P| < = n0) abhoc(P); // 解决小规模的问题
divide P into smaller subinstances P1, P2 ,... ,Pk// 分解问题
for (i = 1; i < = k; i++)
yi = divide-and-conquer(Pi); // 递归的解各子问题
return merge(y1, ... ,yk)// 将各子问题的解合并为原问题的解

案例覆盖残缺棋盘

在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
用 (n2) / 3个三重格放置在 n × n 的缺陷棋盘上，正好能够覆盖所有方格

具体步骤：

划分为四个小棋盘
其中一个是 4 × 4 缺陷棋盘

在其他三个 4 × 4 棋盘都都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘

递归地覆盖四个4×4缺陷棋盘

在其它三个 4 × 4 棋盘都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘。

Java代码实现

package Chess;

public class Chess
// 表示棋盘
private int[][] board;
// 表示棋盘的大小为2的多少次方
private int boardSize;
// 棋盘中特殊方格的位置（行号，列号）
private int dr, dc;
private int tile = 1;

public Chess()
board = new int[1][1];
dr = 0;
dc = 0;
boardSize = 0;

public Chess(int r, int c, int s)
int n;
n = (int) Math.pow(2, s);
if (n < = r || n < = c)
System.out.println("初始化参数错误！");
else
board = new int[n][n];
dr = r;
dc = c;
boardSize = s;

public void Print()
for (int i = 0; i < Math.pow(2, this.boardSize); i++)
for (int j = 0; j < Math.pow(2, this.boardSize); j++)
System.out.printf("%3d|", this.board[i][j]);

System.out.println();

public static void main(String[] args)
// 2^2*2^2棋盘, 假设特殊方格位置为（3, 3）
Chess c1 = new Chess(3, 3, 2);
c1.chessBoard(0, 0, c1.dr, c1.dc, (int)Math.pow(2, c1.boardSize));
c1.Print();

/**
* @param tr：棋盘左上角方格的行号
* @param tc：棋盘左上角方格的列号
* @param dr：特殊方格所在的行号
* @param dc：特殊棋盘所在的列号
* @param size：2^k, 棋盘的规格为 2^k*2^k
**/
public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
if (size == 1) return;

// t: L型骨牌号，s分割棋盘
int t = tile++;
int s = size / 2;

// 覆盖左上角棋盘
if (dr < tr + s & & dc < tc + s)
// 特殊方格在此棋盘中
chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
else
// 此棋盘中无特殊方格则用t号L型骨牌覆盖右下角
board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
// 覆盖其余方格
chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);

// 覆盖右上角子棋盘
if (dr < tr + s & & dc > = tc + s)
// 特殊方格在此棋盘中
chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
else
// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左下角
board[tr + s - 1][tc + s] = t;
chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);

// 覆盖左下角棋盘
if (dr > = tr + s & & dc < tc + s)
chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
else
// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖右上角
board[tr + s][tc + s - 1] = t;
chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);

// 覆盖右下角棋盘
if (dr > = tr + s& & dc > = tc + s)
// 特殊方格在此棋盘中
chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
else
// 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左上角
board[tr + s][tc + s] = t;
chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);