文章目录
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- 一、实验说明
- 二、Python 矩阵基本运算
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- 1. python矩阵操作
- 2. python矩阵乘法
- 3. python矩阵转置
- 4. python求方阵的迹
- 5. python方阵的行列式计算方法
- 6. python求逆矩阵/伴随矩阵
- 7. python解多元一次方程
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一、实验说明
实验环境二、Python 矩阵基本运算
Anaconda + python3.6 + jupyter
引入 numpy 库
import numpy as np
1. python矩阵操作 ① 使用 mat 函数创建一个 2X3矩阵
a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
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② 使用 shape 可以获取矩阵的大小
a.shape
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③ 进行行列转换
a.T
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④ 使用二维数组代替矩阵来进行矩阵运算
b = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
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⑤ 加减法
a + b
a - b
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2. python矩阵乘法 ① 使用二维数组创建两个矩阵A和B
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = A.T
② 一个矩阵的数乘，其实就是矩阵的每一个元素乘以该数
2 * A
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③ dot 函数用于矩阵乘法，对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是内积
np.dot(A, B)
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np.dot( B, A)
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注意交换矩阵的前后位置会导致不同的结果④ 再创建一个二维数组
C = np.array([[1, 2], [1, 3]])
⑤ 验证矩阵乘法的结合性： ( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)
np.dot(np.dot(A, B), C)
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np.dot(A, np.dot(B, C))
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⑥ 验证矩阵加法的分配性： ( A + B ) C = A C + B C (A+B)C = AC + BC (A+B)C=AC+BC
A = B - 1
np.dot(A+B, C)
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np.dot(A, C) + np.dot(B, C)
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⑦ 数乘的结合性
2*(np.dot(A, C))
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np.dot(2*A, C)
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np.dot(A, 2*C)
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⑧ 使用 eye 创建一个单位矩阵
D = np.eye(2)
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⑨ 一个矩阵乘以一个单位矩阵，还是它本身
np.dot(C, D)
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3. python矩阵转置
矩阵的转置就是将矩阵的行变为列，将列变为行① 第一个性质矩阵转置的转置就是它本身： ( A ′ ) ′ = A (A^{'})^{'} = A (A′)′=A
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
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A.T.T
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② 创建两个尺寸相同的矩阵
B = A.T
C = B - 1
③ 验证矩阵转置的第二个性质： ( A ± B ) ′ = A ′ ± B ′ (A \pm B)^{'} = A^{'} \pm B^{'} (A±B)′=A′±B′
(B + C).T
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B.T + C.T
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④ 验证矩阵转置的第三个性质： ( K A ) ′ = K A ′ (KA)^{'} = KA^{'} (KA)′=KA′
(2 * A).T
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2 * A.T
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⑤ 验证矩阵转置的第四个性质： ( A × B ) ′ = B ′ × A ′ (A \times B)^{'} = B^{'} \times A^{'} (A×B)′=B′×A′
np.dot(A, B).T
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np.dot(B.T, A.T)
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4. python求方阵的迹
方阵的迹就是主对角元素之和① 创建一个方阵（方阵也就是行数等于列数的矩阵）
E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
② 用 trace 计算方阵的迹
np.trace(E)
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③ 再创建一个方阵F
F = E - 2
④ 验证一下方阵的迹等于方阵的转置的迹
np.trace(E)
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np.trace(E.T)
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⑤ 验证一下方阵的乘积的迹
np.trace(np.dot(E, F))
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np.trace(np.dot(F, E))
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⑥ 验证一下方阵的和的迹等于方阵的迹的和
np.trace(E + F)
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np.trace(E) + np.trace(F)
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5. python方阵的行列式计算方法 ① 创建两个方阵
E = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
F = np.array([[1, 2], [1, 3]])
② 使用 linalg.det 方法求得方阵E和方阵F的行列式
np.linalg.det(E)
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np.linalg.det(F)
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6. python求逆矩阵/伴随矩阵 逆矩阵的定义：
设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。当矩阵A的行列式|A|不等于0时才存在可逆矩阵。伴随矩阵的定义：
设A为n节方阵，则由A的行列式|A|中各个元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij?所构成的如下矩阵① 创建一个方阵
A ? = [ A 11 A 21 ? A n 1 A 12 A 22 ? A n 2 ? ? ? ? A 1 n A 2 n ? A n n ] A^* = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} A?=??????A11?A12??A1n??A21?A22??A2n???????An1?An2??Ann????????
称为矩阵A的伴随矩阵，或简称 “伴随阵”
A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])
② 使用 linalg.det求得方阵的行列式
A_abs = np.linalg.det(A)
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③ 使用 linalg.inv 求得方阵A的逆矩阵
B = np.linalg.inv(A)
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④ 利用公式求伴随矩阵： A ? = ∣ A ∣ A ? 1 A^* = |A|A^{-1} A?=∣A∣A?1
A_bansui = B * A_abs
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7. python解多元一次方程
使用python的numpy包中的 linalg.solve() 方法解多元一次方程要求解的方程如下：
x + 2 y + z = 7 2 x ? y + 3 z = 7 3 x + y + 2 z = 18 x + 2y + z =7 \\ 2x - y +3z = 7 \\ 3x + y + 2z = 18 x+2y+z=72x?y+3z=73x+y+2z=18
① 将未知数的系数写下来，排列成一个矩阵a
a = [[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]]
a = np.array(a)
② 常数项构成一个一维数组（向量）
b = [7, 7, 18]
b = np.array(b)
③ 使用 linalg.solve 方法解方程，参数a指的是系数矩阵，参数b指的是常数项矩阵
x = np.linalg.solve(a, b)
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④ 使用点乘的方法可以验证一下，系数乘以未知数可以得到常数项
np.dot(a, x)
【Python|Python 矩阵基本运算【numpy】】
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