线性代数|矩阵的坐标系变换计算机视觉|线性代数

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- 矩阵的坐标系变换
一、矩阵
二、坐标系变换

矩阵的坐标系变换一、矩阵 【线性代数|矩阵的坐标系变换】一个 m × n m \times n m×n的矩阵可以将一个 n n n维的向量转化成一个 m m m维度的新向量，例如rotation matrix
[ c o s θ ? s i n θ s i n θ c o s θ ] ? [ 1 0 ] = [ c o s θ s i n θ ] \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\theta \\ sin\theta \end{bmatrix} [cosθsinθ??sinθcosθ?]?[10?]=[cosθsinθ?]
我们可以将上式理解为rotation matrix将向量 e 1 e_1 e1?旋转了一个角度 θ \theta θ，得到了一个新的向量。
二、坐标系变换我们也可以将上式理解为矩阵对坐标系的变换。对比于将一个向量转化成了一个新的向量，在向量变换的过程中，我们认为坐标系是没有改变的。我们始终是以 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)作为basis。但当我们将矩阵变换理解为坐标系变换的时候，我们的初始坐标系并不是 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)，而是以 ( c o s θ , s i n θ ) , ( ? s i n θ , c o s θ ) (cos\theta, sin\theta), (-sin\theta, cos\theta) (cosθ,sinθ),(?sinθ,cosθ)作为basis的坐标系（虚线坐标系）。

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在这个虚线坐标系下，绿色向量的坐标为 ( 1 , 0 ) (1, 0) (1,0)。而矩阵变换告诉了我们这个向量在 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)为basis的坐标系（蓝色坐标系）下的坐标，也就是矩阵变换的结果 ( c o s θ , s i n θ ) (cos\theta, sin\theta) (cosθ,sinθ)。我们还可以发现，这个矩阵体现了如何用 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)的线性组合表示虚线坐标系。这个矩阵可以理解为，要想用 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)表示虚线坐标系，虚线坐标系第一个eigenvector是 c o s θ e 1 + s i n θ e 2 cos\theta e_1 + sin\theta e_2 cosθe1?+sinθe2?，虚线坐标系的第二个eigenvector是 ? s i n θ e 1 + c o s θ e 2 -sin\theta e_1 + cos\theta e_2 ?sinθe1?+cosθe2?。而矩阵的值，正是线性组合的系数。
蓝色坐标系为我们的目标坐标系（结果 ( c o s θ , s i n θ ) (cos\theta, sin\theta) (cosθ,sinθ)的坐标系），虚线坐标系为我们的起始坐标系 ( 1 , 0 ) (1, 0) (1,0)的坐标系，矩阵则是以目标坐标系表示起始坐标系的系数。矩阵的变换就是已知向量在起始坐标系下的坐标，求向量在目标坐标系下的坐标。
再举一个目标坐标系不是 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)的例子，假如我们的目标坐标系为：
[ 1 2 2 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} [12?20?]
起始坐标系为 ( e 1 , e 2 ) (e_1, e_2) (e1?,e2?)，我们想知道在目标坐标系下向量 ( 3 , 2 ) (3, 2) (3,2)的坐标是多少。那么我们的矩阵就是目标坐标系来表示起始坐标系的系数。
e 1 = 0 ? ( 1 ， 2 ) + 1 2 ? ( 2 , 0 ) e_1 = 0 *(1， 2)+ \frac{1}{2} * (2, 0) e1?=0?(1，2)+21??(2,0)
e 2 = 1 2 ? ( 1 ， 2 ) + ? 1 4 ? ( 2 , 0 ) e_2 = \frac{1}{2} *(1， 2)+ -\frac{1}{4} * (2, 0) e2?=21??(1，2)+?41??(2,0)
所以，矩阵为：
[ 0 1 / 2 1 / 2 ? 1 / 4 ] ? [ 3 2 ] = [ 1 1 ] \begin{bmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & -1/4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [01/2?1/2?1/4?]?[32?]=[11?]
也就是在目标矩阵下，向量（3， 2）的坐标是（1， 1）