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Code|CodeForces 235 E.Number Challenge（莫比乌斯反演+数论）

数论code莫比乌斯反演Forces

Description
求 ∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk),a,b,c≤2000
Input
三个整数 a,b,c(1≤a,b,c≤2000)
Output
输出结果模 1073741824
Sample Input
2 2 2
Sample Output
20
Solution
首先证明两个结论：
1 . d(mn)=∑i|m∑j|n[(i,j)=1]
设 m=pa11pa22...paxx,n=pb11pb22...pbxx
对 mn 的任一正因子 l ，假设 l=pc11pc22...pcxx ，则有 0≤ci≤ai+bi
令 s=pd11pd22...pdxx ， t=pe11pe22...pexx ，其中 di={ci0ci≤aici>ai ， ei={0ci?aici≤aici>ai
则有 (s,t)=1,s|m,t|n ，且显然该分解唯一
反之，如果 s,t 满足 (s,t)=1,s|m,t|n ，令 ci=?????di0ai+eidi≠0di=0,ei=0di=0,ei≠0 ，则 pc11pc22...pcxx|mn
显然该表示唯一，综上结论成立
2 . d(rst)=∑i|r∑j|s∑k|t[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]
d(rst)=∑i|r∑j|st[(i,j)=1]=∑i|s∑j|s∑k|t[(i,jk)=1][(j,k)=1]=∑i|r∑j|s∑k|t[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]
进而有

∑i=1a∑j=1b∑k=1cd(ijk) ====∑r=1a∑s=1b∑t=1c∑i|r∑j|s∑k|t[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]∑i=1a∑j=1b∑k=1c?ai??bj??ck?[(i,j)=1][(i,k)=1][(j,k)=1]∑i=1a∑j=1b∑k=1c?ai??bj??ck?[(i,j)=1][(i,k)=1]∑d|(j,k)μ(d)∑i=1a?ai?∑d=1min(b,c)μ(d)∑j=1?bd??bjd?[(i,jd)=1]∑k=1?cd??ckd?[(i,kd)=1]
预处理 gcd(i,j)和 mu(d)，枚举 a,d，时间复杂度 O(n2log n)
【Code|CodeForces 235 E.Number Challenge（莫比乌斯反演+数论）】Code

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; typedef long long ll; typedef pairP; const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=2005; #define mod 1073741824 int gcd[maxn][maxn],mu[maxn],p[maxn],vis[maxn],res; void init(int n=2000) { res=0; mu[1]=1; for(int i=2; i<=n; i++) { if(!vis[i])p[res++]=i,mu[i]=-1; for(int j=0; j=mod)res-=mod; } ans+=(ll)(a/i)*res%mod; if(ans>=mod)ans-=mod; } printf("%d\n",ans); } return 0; }

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