2018-04-27|2018-04-27 开胃学习数学系列 - PDE
【2018-04-27|2018-04-27 开胃学习数学系列 - PDE】在金融领域,我们遇到的大多数偏微分方程(PDE)都是这种形式:
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它可以分为三类:双曲线,抛物线和椭圆
一般来说,不同类型的方程式在解决方案的行为方式上有很大的不同,如何更有效地解决这些问题?
Hyperbolic
b2(x,t)?a(x,t)c(x,t)>0
The canonical form:
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- Mostly referred to as the Wave equation 波动方程
- 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表,其最简形式可表示为:关于位置x和时间t的标量函数u(代表各点偏离平衡位置的距离)满足上面的表达式。这里c通常是一个固定常数,代表波的传播速率。
Parabolic b2(x,t)?a(x,t)c(x,t)=0
The canonical form:
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- Mostly referred to as the Heat equation
Elliptic b2(x,t)?a(x,t)c(x,t)<0
The canonical form:
Mostly referred to as the Laplace or Poisson equation:
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Initial and Boundary Conditions 解微分方程要有定解,就一定要引入条件, 这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多,最常见的有两种——初始条件和边界条件。
Depending on the problem, we usually have initial conditions (IC)
x(x,t=0)=u0(x)
and/or boundary conditions (BC)
au+b?u?x=c,?x∈?Q,?t
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and the BC is called Dirichlet if b=0b=0 , Neumann if a=0a=0 , or Robin if c=0c=0 .
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