量子计算|量子计算学习（2）（数学推导量子门作用）算法|量子力学|线性代数

量子计算

态矢
量子门在Bloch Sphere中的表现
- 绕XYZ轴旋转
- 绕特定轴旋转
- 旋转的ZY分解

这一部分主要介绍量子计算涉及到的一部分数学知识（主要为线性代数），以及量子门在Bloch Sphere的作用表现
态矢在上文有提到量子态可以用线性代数中的向量来描述（比如单量子比特为一个2为矢量）。
在量子理论中，描述量子态的向量被称为态矢，分为左矢和右矢，也就是上文提到的bra和ket。

右矢（ket）： ∣ φ > = [ c 1 , c 2 , ? ? , c n ] T |\varphi> = \left[\begin{matrix}c_1,c_2,\cdots,c_n\\\end{matrix}\right]^T ∣φ>=[c1?,c2?,?,cn??]T（列向量）
左矢（bra）： < φ ∣ = [ c 1 ? , c 2 ? , ? ? , c n ? ] <\varphi| = \left[\begin{matrix}c_1^*,c_2^*,\cdots,c_n^*\\\end{matrix}\right] <φ∣=[c1??,c2??,?,cn???]（行向量）

对应地，左矢、右矢有这两种计算方式：内积、外积，假定有两个量子态| α \alpha α>= [ a 1 , a 2 , ? ? , a n ] T \left[\begin{matrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\\end{matrix}\right]^T [a1?,a2?,?,an??]T、| β \beta β>= [ b 1 , b 2 , ? ? , b n ] T \left[\begin{matrix}b_1,b_2,\cdots,b_n\\\end{matrix}\right]^T [b1?,b2?,?,bn??]T

内积：< α ∣ β \alpha|\beta α∣β> =∑ i = 1 n a i ? b i \sum_{i=1}^{n}a_i^*b_i ∑i=1n?ai??bi?
外积：| α \alpha α>< β \beta β|= [ a i b j ? ] n × n \left[ a_ib_j^*\\ \right]_{n\times n} [ai?bj??]n×n?

【量子计算|量子计算学习（2）（数学推导量子门作用）】注意不要和张量积的运算混淆。
量子门在Bloch Sphere中的表现上文我们了解到，量子门实际上就是一个矩阵，更准确的说他是一个旋转矩阵。
由于量子计算有一个特点：他的所有操作都是可逆的，这一点不同于数字电路（例如or、and门都是不可逆操作）。所以，我们量子门的等价矩阵都是可逆的，通常用U符号来表示，对应的变换为酉变换。
在数学上，酉矩阵有如下特点：
U U + = I UU^+=I UU+=I
其中的 U + U^+ U+为 U U U共轭转置矩阵。
常见的酉变换有如下三个：

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上文也有提到，这三个矩阵分别对应将态矢绕XYZ轴旋转180度。

绕XYZ轴旋转那么如何表示绕XYZ轴旋转任意角度呢？

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证明过程主要运用到了无穷级数以及酉矩阵的特点，下面以 R x ( θ ) R_x(\theta) Rx?(θ)为例：
R x ( θ ) = ∑ 1 n ! ( ? i θ X / 2 ) n = ∑ 1 2 n ! ( i θ X / 2 ) 2 n + ∑ 1 ( 2 n + 1 ) ! ( i θ X / 2 ) 2 n + 1 = ∑ ( ? 1 ) n 2 n ! ( θ X / 2 ) 2 n ? i ∑ ( ? 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ( θ X / 2 ) 2 n + 1 = I ∑ ( ? 1 ) n 2 n ! ( θ / 2 ) 2 n ? i X ∑ ( ? 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! ( θ / 2 ) 2 n + 1 = c o s θ 2 I ? i s i n θ 2 X \begin{aligned} R_x(\theta)&=\sum \frac{1}{n!}(-i\theta X/2)^n \\ & =\sum \frac{1}{2n!}(i\theta X/2)^{2n}+\sum \frac{1}{(2n+1)!}(i\theta X/2)^{2n+1} \\ & =\sum \frac{(-1)^n}{2n!}(\theta X/2)^{2n}-i\sum \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\theta X/2)^{2n+1} \\ &=I\sum \frac{(-1)^n}{2n!}(\theta/2)^{2n}-iX\sum \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\theta/2)^{2n+1}\\ &=cos\frac{\theta}{2}I-isin \frac{\theta}{2}X \end{aligned} Rx?(θ)?=∑n!1?(?iθX/2)n=∑2n!1?(iθX/2)2n+∑(2n+1)!1?(iθX/2)2n+1=∑2n!(?1)n?(θX/2)2n?i∑(2n+1)!(?1)n?(θX/2)2n+1=I∑2n!(?1)n?(θ/2)2n?iX∑(2n+1)!(?1)n?(θ/2)2n+1=cos2θ?I?isin2θ?X?
（手打好累）

绕特定轴旋转进一步推广，是否可以将U矩阵视为，将态矢量绕特定轴n旋转特定角度？
在Quantum Computation and Quantum Information 书中，我们可以得到以下结论：

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其中

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σ \sigma σ为泡利矩阵向量。（具体为什么长这样我也不知道）
查阅可知，H门表现在Bloch Sphere是绕XZ轴角平分线旋转180°，下面我们将通过推导得到这结论。
易知：
R n ( π ) = ? i ( n x X + n y Y + n z Z ) = ? i [ n z n x ? i n y n x + i n y ? n z ] \begin{aligned} R_n(\pi) &= -i(n_xX+n_yY+n_zZ)\\ &=-i\left[\begin{matrix}n_z & n_x-in_y \\ n_x+in_y & -n_z\end{matrix}\right] \end{aligned} Rn?(π)?=?i(nx?X+ny?Y+nz?Z)=?i[nz?nx?+iny??nx??iny??nz??]?
通过配凑可知，当n取 ( 1 2 , 0 , 1 2 ) (\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}) (2 ?1?,0,2 ?1?)时，则可转换为H门

旋转的ZY分解书中还有一下结论，将任意单比特操作分解为ZY轴上的旋转操作：