数学随想|生态学经典（捕食者和被捕食者模型）矩阵|算法|动态规划|线性代数

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Predator-Prey Model 捕食者和被捕食者模型

这是生态学中非常经典的一个模型

假设一个生态系统中有两个物种，其中一个为食草动物，两者分别构成了捕食者和被捕食者。
以兔子和狐狸为例：
引入变量：
x ( t ) x(t) x(t) : 狐狸的数量
y ( t ) y(t) y(t)：兔子的数量

如果没有兔子，狐狸的数量会因为缺少食物而减少

d x d t = ? a x , a > 0 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-ax,a>0 dtdx?=?ax,a>0

【数学随想|生态学经典（捕食者和被捕食者模型）】事实上，生态系统中的兔子和狐狸存在一种互动关系，兔子的数量会因为狐狸数量的增加而减少，狐狸的数量也会因为兔子数量的减少而减少，两者之始至终都相互影响。我们用正比于两者数量的积来表示这种互动关系, 所以更精确的模型可以这样写

d x d t = ? a x + b x y (1) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-ax+bxy\tag{1} dtdx?=?ax+bxy(1)

现在考虑兔子的数量，如果没有狐狸，并且假设自然资源、空间充足，那么兔子会呈现指数式增长

d y d t = d y , d > 0 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=dy, d>0 dtdy?=dy,d>0

事实上，兔子的数量会随着狐狸数量的增加而减少，这种减少体现在两种生物的互动过程中

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结合（1）和（2），我们可以得到一个微分方程组：
d x d t = ? a x + b x y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-ax+bxy dtdx?=?ax+bxy
d y d t = d y ? c x y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=dy-cxy dtdy?=dy?cxy
a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d都是常数
它们的图像非常有趣：

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这个著名的方程组叫做 Lotka-Volterra predator-prey model。在生态系统中，物种之间不仅有捕食关系，还有竞争关系，下面的模型便是考虑到了物种之间存在的这种竞争关系

Competition Models 物种竞争模型

生态系统中的两种生物为了争夺共同的资源，比如食物，生存空间等，这种关系叫做竞争。现在考虑两个物种，对于每一个物种而言，对方数量的缺少会引起自身数量的增加

引入变量：
x ( t ) x(t) x(t) : 物种 x
y ( t ) y(t) y(t)：物种 y
d x d t = a x , d y d t = c y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=ax, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=cy dtdx?=ax,dtdy?=cy

事实上，物种之间的相互竞争会造成此消彼长的一种动态趋势

d x d t = a x ? b y \frac{d x}{d t}=a x-b y dtdx?=ax?by
d y d t = c y ? d x \frac{d y}{d t}=c y-d x dtdy?=cy?dx
a , b , c , d a,b,c,d a,b,c,d都是常数

如果考虑物种之间互动关系，为了更好地描述模型，我们用正比于两者数量的积来表示这种互动关系

d x d t = a x ? b x y \frac{d x}{d t}=a x-bxy dtdx?=ax?bxy
d y d t = c y ? d x y \frac{d y}{d t}=c y-d xy dtdy?=cy?dxy

以下是更精确的模型, 具体来讲是一个非线性系统，考虑到了物种按logistics的方式进行增长

d x d t = a 1 x ? b 1 x 2 ? c 1 x y \frac{d x}{d t}=a_{1} x-b_{1} x^{2}-c_1xy dtdx?=a1?x?b1?x2?c1?xy
d y d t = a 2 y ? b 2 y 2 ? c 2 x y \frac{d y}{d t}=a_{2} y-b_{2} y^{2}-c_2xy dtdy?=a2?y?b2?y2?c2?xy
仅凭直觉我们可以得到，物种竞争模型就是一个你死我活的模型，应该会呈现此消彼长的趋势：