激光雷达和三维点云PCL|自动驾驶中激光雷达如何检测障碍物人工智能|计算机视觉|自动驾驶

自动驾驶中激光雷达如何检测障碍物

1. 介绍
- 1.1 激光雷达-一种三维激光传感器
- 1.2 激光雷达的优缺点？
- 1.3 基于激光雷达如何进行障碍物检测？
- 1.4 点云处理难点
2. 点云处理
- 2.1 点云处理-体素网格
- - 2.1.1 什么是体素网格？
3 三维点云的分割
- 3.1 RANSAC
- - 3.1.1 RANSAC 的实现
4. 障碍聚类
- 4.1 点云聚类
- - 4.1.1 计算 KD-Tree
  - 4.1.2 欧式聚类
- 4.2 最邻近(NN)问题
- - 4.2.1 为什么 NN 问题很重要
  - 4.2.2 为什么点云的 NN 很困难
  - 4.2.1 为什么最邻近在点云中如此困难
- 4.3 BST(Binary Search Tree), kd-tree, octree 核心思想
- 4.4 二叉树
- - 4.4.1 BST 构建/插入
  - - 4.4.1.1 BST 插入复杂度
  - 4.4.2 BST 查找
  - 4.4.3 1NN 查找最邻近
  - 4.4.4 kNN 查找最邻近（N 个最邻近）
- 4.5 Kd-tree
- - 4.5.1 Kd-tree的构建
  - 4.5.2 Kd-tree的两种方式
5. 边界框
5.1 PCA
- 5.1.1 PCA 应用
- 5.1.2 Singular Value Decomposition (SVD)
- 5.1.3 PCA 理论
- - 5.1.4 PCA 应用一：降维
  - 5.1.5 Kernel PCA
  - 5.1.5 PCA 应用
6. 滤波
- 6.1 Noise removal
- - 6.1.1 Radius Outlier
  - 6.1.2 升级版：Statistical Outlier Removal
- 6.2 Downsampling
- - 6.2.1 Voxel Grid Downsampling

Reference:

高翔，张涛《视觉SLAM十四讲》
自动驾驶中激光雷达检测障碍物理论与实践

激光雷达是利用激光束来感知三维世界，通过测量激光返回所需的时间输出为点云。它集成在自动驾驶、无人机、机器人、卫星、火箭等许多领域。
1. 介绍 1.1 激光雷达-一种三维激光传感器激光雷达传感器利用光原理进行工作，激光雷达代表光探测和测距。它们可以探测到 300m 以内的障碍物，并准确估计它们的位置。在自动驾驶汽车中，这是用于位置估计的最精确的传感器。

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激光雷达传感器由两部分组成：激光发射（顶部）和激光接收（底部）。发射系统的工作原理是利用多层激光束，层数越多，激光雷达就越精确。层数越多，传感器就越大。激光被发射到障碍物并反射，当这些激光击中障碍物时，它们会产生一组点云，传感器与飞行时间（TOF）进行工作，从本质上说，它测量的是每束激光反射回来所需的时间。如下图：

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当激光雷达的质量和价格非常高时，激光雷达是可以创建丰富的三维环境，并且每秒最多可以发射200万个点。点云表示三维世界激光雷达传感器获得每个撞击点的精确( X , Y , Z ) (X, Y, Z) (X,Y,Z)位置。

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激光雷达传感器可以是固态的，也可以是旋转的，固态激光雷达将把检测的重点放在一个位置上，并提供一个覆盖范围（比如FOV为90°）。在后一种情况下，它将围绕自身旋转，并提供360°旋转。在这种情况下，一般把它放在设备顶上，以提高能见度。
激光雷达很少用作独立传感器。它们通常与相机或雷达结合在一起，这一过程称为传感器融合。融合过程可分为早期融合和后期融合。早期融合是指点云与图像像素融合，后期融合是指单个检测物的融合。
1.2 激光雷达的优缺点？缺点：

激光雷达不能直接估计速度。他们需要计算两个连续测量值之间的差值。
激光雷达在恶劣的天气条件下工作不好。在有雾或者下雨的情况下，激光会击中它，使场景变得混乱。
激光雷达的价格虽然在下降，但仍然很高。

优点：

激光雷达可以精确地估计障碍物的位置。到目前为止，还没有更准确的方法。
激光雷达处理点云。如果我们看到车辆前方的点云，即使障碍物检测系统没有检测到任何东西，我们也可以及时停车。这是一个很大的安全保证，车辆将不仅依赖于图像的神经网络和概率问题。

1.3 基于激光雷达如何进行障碍物检测？激光雷达进行障碍物的步骤通常分为 4 个步骤：

点云处理
点云分割
障碍聚类
边界框拟合

1.4 点云处理难点

稀疏的；
不规则----搜索邻居比较困难；
缺乏纹理信息；
无序的----深度学习很困难；
[ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ? ? ? x N y N z N ] = [ x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 1 ? ? ? x k y k z k ] \left[\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{N} & y_{N} & z_{N}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{k} & y_{k} & z_{k}\end{array}\right] ??????x1?x2??xN??y1?y2??yN??z1?z2??zN????????=??????x2?x1??xk??y2?y1??yk??z2?z1??zk????????
如上面的行换了，表达的还是同一个物体。对于深度学习而言，输入进去的矩阵是不一样的就会产生不同的输出，但是我们希望输出是一样的。
旋转同变性/不变性：我们旋转一些点，它的坐标是不一样的，但是它还是同一个物体。

2. 点云处理 2.1 点云处理-体素网格为了处理点云，我们可以使用最流行的库 PCL(point cloud library)。它在 Python 中可用，但是在 C++ 中使用它更为合理，因为语言更适合机器人学。它也符合 ROS(机器人操作系统)。PCL 库可以完成探测障碍物所需的大部分计算，从加载点到执行算法。这个库相当于 OpenCV 的计算机视觉。因为激光雷达的输出很容易达到每秒 100000 个点，所以我们需要使用一种称为体素网格的方法来对点云进行下采样。
2.1.1 什么是体素网格？
体素网格是一个三维立方体，通过每个立方体只留下一个点来过滤点云。立方体越大，点云的最终分辨率越低。最终，我们可以将点云的采样从几万点减少到几千点。

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滤波完成后我们可以进行的第二个操作是 ROI(感兴趣区域) 的提取，我们只需删除不属于特定区域的每一些点云数据，例如左右距离 10m 以上的点云，前后超过 100m 的点云都通过滤波器滤除。现在我们有了降采样并滤波后的点云了，此时可以继续进行点云的分割、聚类和边界框实现。
3 三维点云的分割 3.1 RANSAC 点云分割任务是将场景与其中的障碍物分离开来，其实就是地面的分割。一种非常流行的分割方法称为 RANSAC(Random Sample consenses)。该算法的目标是识别一组点中的异常值。点云的输出通常表示一些形状。有些形状表示障碍物，有些只是表示地面上的反射。RANSAC 的目标是识别这些点，并通过拟合平面或直线(拟合的是地面)将它们与其他点分开。

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为了拟合直线，我们可以考虑线性回归。但是有这么多的异常值，线性回归会试图平均结果，而得出错误的拟合结果，与线性回归相反，这里的 RANSAC 算法将识别这些异常值，且不会拟合它们。

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如上图所示我们可以将这条线视为场景的目标路径（即道路），而孤立点则是障碍物。
3.1.1 RANSAC 的实现
过程如下：

随机选取2个点
将线性模型拟合到这些点计算每隔一点到拟合线的距离。如果距离在定义的阈值距离公差范围内，则将该点添加到内联线列表中。

因此需要算法一个参数：距离阈值。
最后选择内点最多的迭代作为模型；其余的都是离群值。这样，我们就可以把每一个内点视为道路的一部分，把每一个外点视为障碍的一部分。RANSAC应用在3D点云中。在这种情况下，3个点之间的构成的平面是算法的基础。然后计算点到平面的距离。
下面点云为 RANSAC 算法的结果，紫色区域代表车辆（RANSAC 在这里应该只用来区分地面了）：

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RANSAC 是一个非常强大和简单的点云分割算法。它试图找到属于同一形状的点云和不属于同一形状的点云，然后将其分开。
4. 障碍聚类 4.1 点云聚类 RANSAC 的输出是障碍点云和地面。由此，可以为每个障碍定义独立的簇。它是如何工作的？
聚类是一系列机器学习算法，包括：k-means（最流行）、DBScan、HDBScan 等。这里可以简单地使用欧几里德聚类，计算点之间的欧几里德距离。
4.1.1 计算 KD-Tree
在进行点云聚类问题时，由于一个激光雷达传感器可以输出几万个点云，这将意味有上万次的欧几里德距离计算。为了避免计算每个点的距离，这里使用 KD-Tree 进行加速。
KD-Tree 是一种搜索算法，它将根据点在树中的XY位置对点进行排序，一般的想法-如果一个点不在定义的距离阈值内，那么x或y更大的点肯定不会在这个距离内。这样，我们就不必计算每一个点云。
4.1.2 欧式聚类
过程如下：

选取两个点，一个目标点和一个当前点；
如果目标和当前点之间的距离在距离公差范围内，请将当前点添加到簇中。
如果没有，选择另一个当前点并重复。

点云欧式聚类算法就是将一组点云按其距离进行分割。聚类算法以距离阈值、最小聚类数目和最大聚类数目作为输入。通过这种方式，可以过滤“幽灵障碍物”（一个单点云在空间中是没有理由存在的），并定义一个封闭的障碍物距离。如下图这里用不同颜色来代表聚类后的障碍物点云簇。

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4.2 最邻近(NN)问题

K-NN
在空间M M M 中给定点集S S S，一个查询点q ∈ M q\in M q∈M，在S S S 中查找k k k 个最近点。

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Fixed Radius-NN
在空间M M M 中给定点集S S S，一个查询点q ∈ M q\in M q∈M，在S S S 中查找所有符合∣ ∣ s ? q ∣ ∣ < r ||s-q||
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4.2.1 为什么 NN 问题很重要

它几乎无处不在
- 表面法向量估计
- 噪声滤波
- 采样
- 聚类
- 深度学习
- 特征检测 / 描述
为什么不简单的直接调用开源库（flann, PCL, ect.）
- 它们不够高效：它们是通常使用的库，没有对 2D/3D 做优化；大多数开源的八叉树实现是低效的，而八叉树在 3D 中是最有效率的
- 很少有 NN 库基于 GPU 的

4.2.2 为什么点云的 NN 很困难

不规则：点云可以分布在任何地方
维度灾难：点云可以是三维的，与二维相比的数据量是指数上升的。也可以建立一个三维网格，将点云转化成图像一样的东西，但是网格大部分区域是空白的，而且网格大小的选取也是一个问题。因此使用网格并不高效。

4.2.1 为什么最邻近在点云中如此困难
图像：
一个邻居简单的表示为x + Δ x , y + Δ y x+\Delta x,y+\Delta y x+Δx,y+Δy.
点云：

不规则的：可以分布在图像中任何一个地方；
维数灾难：网格大部分是空白的，原理上就很低效。

4.3 BST(Binary Search Tree), kd-tree, octree 核心思想

空间分割：
1. 将空间划分成不同面积；
2. 只寻找一部分区域，而不是所有的数据点。
停止标准：
1. 如何跳过一些区域：每个区域都会有一个最差距离；
2. 如何停止 k-NN/radius-NN 查找: 如果知道可能的结果都在某个区间里面，那么查找完就结束了；

4.4 二叉树

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BST 是一个基于节点的树结构：

左边的 key 都要比中间 root 小，右边的大。

一个节点包含：

Key；
Left child;
Right child;
… …

4.4.1 BST 构建/插入
比较小放左边，比较大放右边。如果左右边被占据了，就跟左右边被占据的继续对比。
给定一个一维点集{ x 1 , x 2 , . . . , x n } , x i ∈ R \{x_1, x_2, ...,x_n\},x_i\in\R {x1?,x2?,...,xn?},xi?∈R，如一个数组： [ 100 , 20 , 500 , 10 , 30 , 40 ] [100,20,500,10,30,40] [100,20,500,10,30,40]

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4.4.1.1 BST 插入复杂度最坏的情况是O ( h ) O(h) O(h)，在这里h h h 为在 BST 中点的个数。如将数组 [9,8,7,6,5,4,3] 按顺序插入进一个空的 BST 中：

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这是一个合法的二叉树但它一无是处。平衡二叉树是另一个话题了。最佳情况： h = l o g 2 n h=log_2n h=log2?n。

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4.4.2 BST 查找
给定一个 BST 和一个待查找 key，决定哪一个 node 等于这个 key，如果没有，则返回 NULL。
4.4.3 1NN 查找最邻近
比如说在下图中查找点 11：

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1. 根节点为 8，这时最坏距离为 11-8=3。11比8大，这时知道要查找的范围在（8,14）之间，右边子树在范围（8，+inf），往右边看；
2. 到节点 10，这时最坏距离为 11-10=1，这时知道要查找的范围在（10,12）之间，因此不用往右边看，这时右边是比 10 大的，往右边看；
3. 到节点 14，最坏距离依旧为 1。这时要不要找 14 左边子节点？是需要的，左边的子节点比 14 小，要找的仍是（10,12）之间；
4. 找到 13，发现没什么变化，这时子节点已经遍历完了，退回 14；
5. 同理退回 10；
6. 同理退回 8
这样子就省去了五个比较的操作。
4.4.4 kNN 查找最邻近（N 个最邻近）

做法上几乎与 1NN 完全相同，区别在于计算最坏距离。

原始的二叉树比较难用于高维的最邻近搜索，因为二叉树搜索方法依赖一个特性：左边小，右边大。对于一维数据来说，可以比较距离有多少，但如果这是个高维数据就不行了。
4.5 Kd-tree Kd-tree 就是在每个维度上做一个二叉树。但是它有一个更为复杂的地方是，每一个节点包含很多内容。
4.5.1 Kd-tree的构建

如果只有一个点，或者点数
否则的话，选取一个垂直于选定划分轴的超平面（三维就是一个平面），将点分为两半；
迭代重复前两步骤。

4.5.2 Kd-tree的两种方式
左边的情况是找到一个超平面，将超平面放在数据点上；
右边的超平面不属于任何点。

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下面是树的两种切法，这里的波浪线是个二位数据。第一步在中间切一刀，第二步：

1.之前竖着切了一刀，后面切就是水平的了，轮流切；
2.有另外一种切法，叫做自适应。因为我们切这一刀是为了让点在每个维度的分布上更加平均。图中的数据即使中间切了一刀，其他数据也更像是水平分布的，因此再在水平来两刀。

这两种方式结果上是一样的，只是第二种可能速度会更快一点，使树更加平衡。

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5. 边界框最终的目标是围绕每个点云簇创建一个三维边界框。因为我们没有对点云簇进行任何分类，所以我们必须将边界框与点云相匹配。主成分分析(PCA)是一种有助于拟合边界框的算法。
5.1 PCA PCA 用来找到点云的主方向。物理意义：将数据点都投影到一个非常有特征性的方向上，每一个点在这个方向上的投影就是主成分。如下图所示，在三维情况下，这个椭圆的主成分就是它的三个轴。

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5.1.1 PCA 应用

降维；
平面法线估计；
Canonical orientation(典型方向?)；
关键点检测；
特征描述。

5.1.2 Singular Value Decomposition (SVD)

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比如有一个矩阵M M M，它可以被分解为U U U,Σ \Sigma Σ,V ? V^* V?，其中U U U 和V ? V^* V? 都是正交矩阵； Σ \Sigma Σ 是一个对角阵，它在对角线上组成了M M M 的特征值。
假设我们把M M M 乘上一个向量：

应用V ? V^* V?，其实就是在高维空间对向量做一个旋转，所以这个圆被旋转了一下；
Σ \Sigma Σ 对旋转后的向量在每一个维度上做一个缩放，所以这个圆就变成了一个椭圆；
再应用U U U， U U U 也是高维上的一个旋转矩阵，所以又把椭圆旋转了一下。
所以让 M 乘上一个向量，就是把一个圆变成了一个椭圆。

5.1.3 PCA 理论

输入：x i ∈ R n , i = 1 , 2 , . . . , m x_i\in \mathbb{R}^n,i=1,2,...,m xi?∈Rn,i=1,2,...,m，其中x i x_i xi? 为高维空间中的向量。
输出：主要的向量z 1 , z 2 , . . . , z k ∈ R m , k ≤ n z_1,z_2,...,z_k\in \mathbb{R}^m,k\leq n z1?,z2?,...,zk?∈Rm,k≤n，其中z 1 z_1 z1? 为最主要的向量，描述了x i x_i xi? 这一群点里面最有代表性的高维方向。

1. 什么叫做最主要的成分？

如果把这堆高维点投影到某一个方向上，这些投影后的点的方差是最大的。也就是说，这些点在这个方向上分布的非常散。

2. 如何得到第二主要的成分？

把这一组输入x i x_i xi? 里面的、属于z 1 z_1 z1? 的成分都去掉，然后再找剩下的东西里面的最主要成分。

3. 如何得到第三主要的成分？

同上，去掉第一、二主要的成分。

总结：
输入： x i ∈ R n , i = 1 , 2 , . . . , m x_i\in \mathbb{R}^n,i=1,2,...,m xi?∈Rn,i=1,2,...,m，怎么做 PCA？

标准化数据，即减去数据的中心：
X ~ = [ x ~ 1 , ? ? , x ~ m ] , x ~ i = x i ? x ˉ , i = 1 , ? ? , m x ˉ = 1 m ∑ i = 1 m x i \tilde{X}=\left[\tilde{x}_{1}, \cdots, \tilde{x}_{m}\right], \tilde{x}_{i}=x_{i}-\bar{x}, i=1, \cdots, m \quad \bar{x}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} x_{i} X~=[x~1?,?,x~m?],x~i?=xi??xˉ,i=1,?,mxˉ=m1?i=1∑m?xi?
计算 SVD： H = X ~ X ~ T = U r Σ 2 U r T H=\tilde{X} \tilde{X}^{T}=U_{r} \Sigma^{2} U_{r}^{T} H=X~X~T=Ur?Σ2UrT?
主向量为U r U_r Ur? 的列，第一个主向量就是U r U_r Ur? 的第一列，第二个就是第二列，以此类推。

5.1.4 PCA 应用一：降维
将高维数据点投影到低维去，尽可能保留他们的特征。
给定x i ∈ R n , i = 1 , 2 , . . . , m x_i\in \mathbb{R}^n,i=1,2,...,m xi?∈Rn,i=1,2,...,m，使用 PCA 找到它的l l l 个主向量z 1 , z 2 , . . . , z l , z j ∈ R n {z_1,z_2,...,z_l},z_j\in \mathbb{R}^n z1?,z2?,...,zl?,zj?∈Rn:

将x i x_i xi? 从n n n 维压缩（映射）到l l l 维l < < n l< Encoder：计算每个x x x 在每一个方向上的投影：
[ a i 1 ? a i l ] = [ z 1 T ? z l T ] x i \left[\begin{array}{c} a_{i 1} \\ \vdots \\ a_{i l} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} z_{1}^{T} \\ \vdots \\ z_{l}^{T} \end{array}\right] x_{i} ????ai1??ail??????=????z1T??zlT??????xi?
怎样再从l l l 维重新回到n n n 维：
Decoder：
x ^ i = ∑ j = 1 l a j z j = [ z 1 , ? ? , z l ] [ a i 1 ? a i l ] \hat{x}_{i}=\sum_{j=1}^{l} a_{j} z_{j}=\left[z_{1}, \cdots, z_{l}\right]\left[\begin{array}{c} a_{i 1} \\ \vdots \\ a_{i l} \end{array}\right] x^i?=j=1∑l?aj?zj?=[z1?,?,zl?]????ai1??ail??????

经过降维再升维肯定有数据上的损失，只是损失的比较少。

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从图中可以看到，在主向量上投影下来，仍可以看到有两坨点；而在第二个主向量上就只有一个波峰了。也可以再次说明主向量上保留了更多的信息。
5.1.5 Kernel PCA
在 5.1.4 中提到的都是普通的 PCA，普通 PCA 是线性的，因为矩阵乘法其实也就是一个线性操作（矩阵乘上一个向量其实是对一个矩阵的线性组合）。在遇到的数据不是一个线性的情况下，该怎么办？如左图的同心圆，做线性PCA很难区分开来，如右图所示，会得到两条线，没给出特别有意义的信息，比如将他们区分开。这时可以考虑在更高维度下进行操作。

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原始数据： x i = [ x i 1 , x i 2 ] ∈ R 2 x_i=[x_{i1}, x_{i2}] \in \mathbb{R}^2 xi?=[xi1?,xi2?]∈R2
提升数据： ? ( x i ) = [ x i 1 , x i 2 , x i 1 2 + x i 2 2 ] ∈ R 3 \phi(x_i)=[x_{i1}, x_{i2},x_{i1}^2+x_{i2}^2] \in \mathbb{R}^3 ?(xi?)=[xi1?,xi2?,xi12?+xi22?]∈R3，这里第三个维度选的平方和，就是极坐标的意思。
由上面右图可以看出，可以找到一个平面将它们区分开。这时我们只需要做一个普通的线性 PCA，就可以将它们区分开了。只不过这个时候是三维空间，不是二维空间。

刚刚所做的[ x i 1 , x i 2 , x i 1 2 + x i 2 2 ] [x_{i1}, x_{i2},x_{i1}^2+x_{i2}^2] [xi1?,xi2?,xi12?+xi22?] 操作就是 kernel PCA。
Kernel PCA 步骤：

输入数据x i ∈ R n 0 x_i\in \mathbb{R}^{n_0} xi?∈Rn0?，非线性映射? : R n 0 → R n 1 \phi: \mathbb{R}^{n_0}\rightarrow \mathbb{R}^{n_1} ?:Rn0?→Rn1?
与标准线性 PCA 在升维空间R n 1 \mathbb{R}^{n_1} Rn1? 上一样：
2.1 假设? ( x i ) \phi(x_i) ?(xi?) 均值为零：1 N ∑ i = 1 N ? ( x i ) = 0 \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \phi\left(x_{i}\right) =0 N1?∑i=1N??(xi?)=0
2.2 计算协方差矩阵H ~ = 1 N ∑ i = 1 N ? ( x i ) ? T ( x i ) \tilde{H}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \phi\left(x_{i}\right) \phi^{T}\left(x_{i}\right) H~=N1?∑i=1N??(xi?)?T(xi?)，加个波浪线因为是在高维空间上操作的，与原来的H H H 区分开
2.3 解特征值/特征向量H ~ z ~ = λ ~ z ~ \tilde{H}\tilde{z}=\tilde{\lambda}\tilde{z} H~z~=λ~z~

现仍存在的问题：

如何定义映射? \phi ??
升维后的维度可能会非常高，有没有办法来避免高维运算、节省运算资源？

特征向量可以表达为数据点的线性组合z ~ = ∑ j = 1 N α j ? ( x j ) \tilde{z}=\sum_{j=1}^{N} \alpha_{j} \phi\left(x_{j}\right) z~=∑j=1N?αj??(xj?)-----找到了系数α j \alpha_j αj? 即找到了特征向量z ~ \tilde{z} z~。
证明：
H ~ z ~ = λ ~ z ~ 1 N ∑ i = 1 N ? ( x i ) ? T ( x i ) z ~ = λ ~ z ~ \tilde{H} \tilde{z}=\tilde{\lambda} \tilde{z} \\\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \phi\left(x_{i}\right) \phi^{T}\left(x_{i}\right) \tilde{z}=\tilde{\lambda} \tilde{z} H~z~=λ~z~N1?i=1∑N??(xi?)?T(xi?)z~=λ~z~其中? T ( x i ) z ~ \phi^{T}\left(x_{i}\right) \tilde{z} ?T(xi?)z~ 是一个标量，所以最后的特征向量z ~ \tilde{z} z~ 就是? ( x i ) \phi(x_i) ?(xi?) 的线性组合。
常用核函数的选择：

Lineark ( x i , x j ) = x i T x j k\left(x_{i}, x_{j}\right)=x_{i}^{T} x_{j} k(xi?,xj?)=xiT?xj?
Polynomialk ( x i , x j ) = ( 1 + x i T x j ) p k\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(1+x_{i}^{T} x_{j}\right)^{p} k(xi?,xj?)=(1+xiT?xj?)p
Gaussiank ( x i , x j ) = e ? β ∥ x i ? x j ∥ 2 k\left(x_{i}, x_{j}\right)=e^{-\beta\left\|x_{i}-x_{j}\right\|_{2}} k(xi?,xj?)=e?β∥xi??xj?∥2?
Laplaciank ( x i , x j ) = e ? β ∥ x i ? x j ∥ 1 k\left(x_{i}, x_{j}\right)=e^{-\beta\left\|x_{i}-x_{j}\right\|_{1}} k(xi?,xj?)=e?β∥xi??xj?∥1?

通常来说只能通过实验来判断哪个的效果好，除非对数据非常了解，知道该使用什么样子的核函数。
真 ? \cdot ?步骤：

选择一个核函数k ( x i , x j ) k(x_i,x_j) k(xi?,xj?)，组合成一个 Gram matrixK ( i , j ) = k ( x i , x j ) K(i,j)=k(x_i,x_j) K(i,j)=k(xi?,xj?)
标准化K K K，使得高维空间的平均值为0，其中K ~ \widetilde{K} K为经过处理的核函数矩阵； I 1 N \mathbb{I}_{\frac{1}{N}} IN1?? 是数值全为 1 N \frac{1}{N} N1? 的常数矩阵，即I 1 N ( i , j ) = 1 N , ? i , j \mathbb{I}_{\frac{1}{N}}(i,j)=\frac{1}{N},\forall i,j IN1??(i,j)=N1?,?i,j：
K ~ = K ? 2 I 1 N K + I 1 N K I 1 N \widetilde{K}=K-2 \mathbb{I}_{\frac{1}{N}} K+\mathbb{\mathbb { I } _{\frac{1}{N}}} K \mathbb{\mathbb { I } _{\frac{1}{N}}} K =K?2IN1??K+IN1??KIN1??
解K ~ \tilde{K} K~ 的特征值/特征向量：
K ~ α r = λ r α r \widetilde{K} \alpha_{r}=\lambda_{r} \alpha_{r} K αr?=λr?αr?
标准化α r \alpha_r αr? 使得它的模，即α r T α r = 1 λ r \alpha_{r}^{T} \alpha_{r}=\frac{1}{\lambda_{r}} αrT?αr?=λr?1?
将任何一个数据点x ∈ R n x\in \mathbb{R}^{n} x∈Rn，将它们投影到r t h r^{th} rth 主向量y r ∈ R y_r\in \mathbb{R} yr?∈R上：
y r = ? T ( x ) z ~ r = ∑ j = 1 N α r j k ( x , x j ) y_{r}=\phi^{T}(x) \tilde{z}_{r}=\sum_{j=1}^{N} \alpha_{r j} k\left(x, x_{j}\right) yr?=?T(x)z~r?=j=1∑N?αrj?k(x,xj?)

例子：
如下图所示，输入数据在线性 PCA 下不可分：

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当 kernel PCA 使用二次多项式核函数k ( x i , x j ) = ( 1 + x i T x j ) 2 k\left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(1+x_{i}^{T} x_{j}\right)^{2} k(xi?,xj?)=(1+xiT?xj?)2 时，如左图所示，点通过第一映射y 0 y_0 y0? 就很明显的区分开了：

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也可以使用高斯核函数k ( x i , x j ) = e ? β ∥ x i ? x j ∥ 2 k\left(x_{i}, x_{j}\right)=e^{-\beta\left\|x_{i}-x_{j}\right\|_{2}} k(xi?,xj?)=e?β∥xi??xj?∥2?，如上右图所示，区分的也很好。
5.1.5 PCA 应用

计算3D 点云的平面法向量
1.1 选取一个点P P P；
1.2 找出这个点的邻域；
1.3 对邻域里的点做 PCA；
1.4 在邻域里选取的法向量是最不显著的向量；
1.5 曲率->特征值的比例λ 3 / ( λ 1 + λ 2 + λ 3 ) \lambda_3/(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) λ3?/(λ1?+λ2?+λ3?)。

/*************************** 额外的 *********************************/
6. 滤波

噪声去除
1.1 离群值清除(Raduius Outlier Removal)
1.2 统计离群值清除(Statistical Outlier Removal)
【激光雷达和三维点云PCL|自动驾驶中激光雷达如何检测障碍物】降采样：保存特征的同时，降低运算量
2.1 体素栅格降采样(Voxel Grid Downsampling)
2.2 最远点采样(Farthest Point Sampling)
2.3 法向量空间采样(Normal Space Sampling)
上采样/平滑
3.1 双边滤波(Bilateral Filter)

6.1 Noise removal 6.1.1 Radius Outlier

对于每个点，找到它在半径为r r r 的邻居；
如果邻居的个数k < k ? k

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6.1.2 升级版：Statistical Outlier Removal

对于每个点，找到它在半径为r r r 的邻居；
计算每一个邻居距离这个点有多远d i j , i = [ 1 , . . . , m ] , j = [ 1 , . . . , k ] d_{ij},i=[1,...,m],j=[1,...,k] dij?,i=[1,...,m],j=[1,...,k]， i i i 为这个点， j j j 为邻居;
使用高斯分布对距离建模d ～ N ( μ , σ ) d\sim N(\mu,\sigma) d～N(μ,σ)-----这里是对所有的点得到的一个总的建模结果，而不是对单个点
μ = 1 n k ∑ i = 1 m ∑ j = 1 k d i j , σ = 1 n k ∑ i = 1 m ∑ j = 1 k ( d i j ? μ ) 2 \mu=\frac{1}{n k} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} d_{i j}, \sigma=\sqrt{\frac{1}{n k} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k}\left(d_{i j}-\mu\right)^{2}} μ=nk1?i=1∑m?j=1∑k?dij?,σ=nk1?i=1∑m?j=1∑k?(dij??μ)2 ?
对于每个点，重新计算一遍对于邻居的平均距离（半径依旧为r r r）；
去除这个点，如果平均距离大于一些阈值，如，当在以下条件下去除点：
∑ j = 1 k d i j > μ + 3 σor∑ j = 1 k d i j < μ ? 3 σ \sum_{j=1}^{k} d_{i j}>\mu+3 \sigma \text { or } \sum_{j=1}^{k} d_{i j}<\mu-3 \sigma j=1∑k?dij?>μ+3σ or j=1∑k?dij?<μ?3σ下图为 Statistical Outlier Removal 的处理结果，右边红色为处理前的平均距离，经过滤波后邻居就特别近了。

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