Python|Python 分形算法__代码里开出来的艺术之花 Python分形算法__代码里开出来的

1. 前言分形几何是几何数学中的一个分支，也称大自然几何学，由著名数学家本华曼德勃罗（法语：BenoitB.Mandelbrot）在 1975 年构思和发展出来的一种新的几何学。
【Python|Python 分形算法__代码里开出来的艺术之花】分形几何是对大自然中微观与宏观和谐统一之美的发现，分形几何最大的特点：

整体与局部的相似性：一个完整的图形是由诸多相似的微图形组成，而整体图形又是微图形的放大。

局部是整体的缩影，整体是局部的放大。
具有自我叠加性：整体图形是由微图形不断重复叠加构成，且具有无限叠加能力。

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什么是分形算法？
所谓分形算法就是使用计算机程序模拟出大自然界的分形几何图案，是分形几何数学与计算机科学相融合的艺术。
由于分形图形相似性的特点，分形算法多采用递归实现。
2. 分形算法 2.1 科赫雪花
科赫雪花是由瑞典数学家科赫在 1904 年提出的一种不规则几何图形，也称为雪花曲线。

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分形图形的特点是整体几何图形是由一个微图形结构自我复制、反复叠加形成，且最终形成的整体图案和微图形结构一样。在编写分形算法时，需要先理解微图案的生成过程。

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科赫雪花的微图案生成过程：

先画一条直线。科赫雪花本质就由一条直线演化而成。
三等分画好的直线。
取中间线段，然后用夹角为 60° 的两条等长线段替代。
可在每一条线段上都采用如上方式进行迭代操作，便会构造出多层次的科赫雪花。

科赫微图形算法实现：
使用 Python 自带小海龟模块绘制，科赫雪花递归算法的出口的是画直线。

import turtle ''' size：直线的长度 level: 科赫雪花的层次 ''' def koch(size, level): if n == 1: turtle.fd(size) else: for i in [0, 60, -120, 60]: turtle.left(i) # 旋转后，再绘制 koch(size // 3, level - 1)

参数说明：

size：要绘制的直线长度。
level：科赫雪花的层次。

0 阶和 1 阶科赫雪花递归流程：

import turtle turtle.speed(100) def ke_line(line_, n): if n == 0: turtle.fd(line_) else: line_len = line_ // 3 for i in [0, 60, -120, 60]: turtle.left(i) ke_line(line_len, n - 1) # 原始直线长度 line = 300 # 移动小海龟到画布左下角 turtle.penup() turtle.goto(-150, -150) turtle.pendown() # 1 阶科赫雪花 di_gui_deep = 1 ke_line(line, di_gui_deep) turtle.done()

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2 阶科赫雪花：

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可以多画几个科赫雪花，布满整个圆周。

import turtle turtle.speed(100) def ke_line(line_, n): if n == 0: turtle.fd(line_) else: line_len = line_ // 3 for i in [0, 60, -120, 60]: turtle.left(i) ke_line(line_len, n - 1) # 原始线长度 line = 300 # 移动小海龟画布左下角 turtle.penup() turtle.goto(-150, -150) turtle.pendown() # 几阶科赫雪花 di_gui_deep = int(input("请输入科赫雪花的阶数：")) while True: # 当多少科赫雪花围绕成一个圆周时，就构成一个完整的雪花造型 count = int(input("需要几个科赫雪花：")) if 360 % count != 0: print("请输入 360 的倍数") else: break for i in range(count): ke_line(line, di_gui_deep) turtle.left(360 // count) turtle.done()

4 个 3 阶科赫雪花：每画完一个后旋转 90 度，然后再绘制另一个。

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6 个 3 阶科赫雪花：每画完一个后，旋转 60 度再画另一个。

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科赫雪花的绘制并不难，本质就是画直线、旋转、再画直线……
2.2 康托三分集
由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合。最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。
构造过程：

绘制一条给定长度的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段。
再将剩下的两段再分别三等分，同样各去掉中间一段，剩下更短的四段……
将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集。

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编码实现：使用递归实现。

import turtle '''' (sx,sy)线段的开始位置 (ex,ey)线段的结束位置 ''' turtle.speed(100) turtle.pensize(2) def draw_kt(sx, sy, ex, ey): turtle.penup() # 小海龟移动开始位置 turtle.goto(sx, sy) turtle.pendown() # # 小海龟移动结束位置 turtle.goto(ex, ey) # 起始点与结束点之间的距离 length = ex - sx # 如果直线长线大于 5 则继续画下去 if length > 5: # 左边线段的开始 x 坐标 left_sx = sx # y 坐标向下移动 30 left_sy = sy - 50 # 左边线段的结束坐标 left_ex = sx + length / 3 left_ey = left_sy # 右边线段的开始坐标 right_sx = ex - length / 3 right_sy = ey - 50 # 右边线段的结束坐标 right_ex = ex right_ey = right_sy draw_kt(left_sx, left_sy, left_ex, left_ey) draw_kt(right_sx, right_sy, right_ex, right_ey) draw_kt(-300, 200, 300, 200) turtle.done()

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康托三分集的递归算法很直观。
2.3 谢尔宾斯基三角形
谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinski triangle）由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。
构造过程：

取一个实心的三角形（最好是等边三角形）。
沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。
去掉中间的那一个小三角形。
对其余三个小三角形重复上述过程直到条件不成立。

编码实现：谢尔宾斯基三角形就是不停的画三角形，在编码之前约定三角形点之间的关系以及绘制方向如下图所示。

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import turtle import mathturtle.speed(100) ''' 通过连接 3 个点的方式绘制三角形 pos是元组的元组((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)) ''' def draw_triangle(pos): turtle.penup() # 移到第一个点 turtle.goto(pos[0]) turtle.pendown() # 连接 3 个点 for i in [1, 2, 0]: turtle.goto(pos[i])# 计算三角形任意两边的中点坐标 def get_mid(p1, p2): return (p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2''' 绘制谢尔宾斯基三角形 ''' def sierpinski_triangle(*pos): # 用给定的点绘制三角形 draw_triangle(pos) p1, p2, p3 = pos # 计算三角形的边长 side = math.fabs((p3[0] - p1[0]) / 2) # 如果边长满足条件，继续绘制其它三角形 if side > 10: # p1和p2线段的中心点 p1_p2_center_x, p1_p2_center_y = get_mid(p1, p2) # p2和p3线段的中心点 p2_p3_center_x, p2_p3_center_y = get_mid(p2, p3) # p1和p3线段的中心点 p1_p3_center_x, p1_p3_center_y = get_mid(p1, p3) # 绘制左下角三角形 sierpinski_triangle(p1, (p1_p2_center_x, p1_p2_center_y), (p1_p3_center_x, p1_p3_center_y)) # 绘制上边三角形 sierpinski_triangle((p1_p2_center_x, p1_p2_center_y), p2, (p2_p3_center_x, p2_p3_center_y)) # 绘制右下角三角形 sierpinski_triangle((p1_p3_center_x, p1_p3_center_y), (p2_p3_center_x, p2_p3_center_y), p3)# 第一个点指左边点，第二点指上面的点，第三个指右边的点。 sierpinski_triangle((-200, -100), (0, 200), (200, -100)) turtle.done()

代码执行之后的结果：

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用随机的方法（Chaos Game），绘制谢尔宾斯基三角形：
构造过程：

任意取平面上三点 A,B,C，组成一个三角形。

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在三角形 ABC 内任意取一点 P，并画出该点。

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找出 P 和三角形其中一个顶点的中点，并画出来。

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把刚才找出来的中心点和三角形的任一顶点相连接，同样取其中点，并画出来。

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重复上述流程，不停的获取中心点。

注意，是画点，上面的线段是为了直观理解中心点位置。

编码实现：

import turtle import random turtle.speed(100) turtle.bgcolor('black') colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'yellow'] # 画等边三角形 def draw_triangle(pos): turtle.penup() turtle.goto(pos[0]) turtle.pendown() for i in [1, 2, 0]: turtle.goto(pos[i])def sierpinski_triangle(*pos): # 画三角形 draw_triangle(pos) p1, p2, p3 = pos # 在三角形中任取一点 ran_x, ran_y = (p1[0] + p3[0]) / 2, (p2[1] + p3[1]) / 2 for i in range(10000): # 画点 turtle.penup() turtle.goto(ran_x, ran_y) turtle.pendown() turtle.dot(3, colors[i % 5]) # 随机选择 3 个顶点的一个顶点 ran_i = random.randint(0, 2) ding_p = pos[ran_i] # 计算任意点和顶点的中心点 ran_x, ran_y = (ran_x + ding_p[0]) / 2, (ran_y + ding_p[1]) / 2 sierpinski_triangle((-200, -100), (0, 200), (200, -100)) turtle.done()

随机法是一个神奇的存在，当点数量很少时，看不出到底在画什么。当点的数量增加后，如成千上万后，会看到谢尔宾斯基三角形跃然于画布上，不得不佩服数学家们天才般的大脑。
下图是点数量为 10000 时的谢尔宾斯基三角形，是不是很震撼。

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2.4 分形树
绘制分形树对于递归调用过程的理解有很大的帮助，其实前面所聊到的递归算法都是树形递进。分形树能很形象的描述树形递归的过程。

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分形树的算法实现：

import turtle def draw_tree(size): if size >= 20: turtle.forward(size) # 1 # 画右边树 turtle.right(20) draw_tree(size - 40) # 2 # 画左边树 turtle.left(40) draw_tree(size - 40) # 后退 turtle.right(20) turtle.backward(size) turtle.left(90) draw_tree(80) turtle.done()

为了理解分形树的递归过程，如上代码可以先仅画一个树干两个树丫。