R语言编程数学分析重读微积分理解极限算法 R语言编程数学分析重读微积分

1 状态变化
2 极限语言
3 序列与函数
4 极限常数

圆周率 π

自然对数e

5 洛必达法则

1 状态变化若将数学整体划分为三类，则可概括为代数、几何与分析。对于前两者，我们很早就建立了直观的概念，对于空间结构及其性质的研究，即为几何；以数为核心的研究领域，即为代数。
而分析则具备更多的非数学的内涵，所以初学者往往难以看透数学分析所指向的数学本质，如果望文生义，会更倾向于将“分析”理解为一门数学技巧，而非数学领域。
我们最先接触数学分析时，是将其等同为微积分的。可以认为微积分是数学分析最基本的知识对象，而微积分的理论基础建立在极限之上。所以，我们可以将极限作为分析学的根基，为此，需要去理解极限的本质，而极限本身则是一个动态的过程，例如下面这个重要极限

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画图方法有很多，在此使用R语言，在RStudio中画出，之所以用RStudio，是因为其界面对初学者来说更友好。输入

> x = c(1:100)#定义x为1到100的数组> y = x*sin(1/x)> plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=x·sin(1/x)') #画图

得到

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可以非常清晰地看到，当x逐渐变大的时候，y是趋于1的。这个趋势可以让我们更加容易理解：极限是一种动态过程；同时有助于形成对分析学的更加直观的印象——分析是建立在状态变化上的一种动态的数学。
一旦建立了这种动态的思维，就会发现原本安定本分的数学世界也发生了微妙的变化，例如，我们又将如何理解1这个整数。
例如无限循环小数0.999...=1这个反直觉的等式是否严格。在初等的观点看来，可以很容易得到 10 × 0.999... = 9.999... → ( 10 ? 1 ) ? 0.999... = 9 → 0.999... = 1 。
进而敏锐地发现，若用一种不厌其烦的方式去求解分式1 \1，会更加自然地得到0.999...
但无论如何，0.999...=1是反直觉的，反来自于初等数学的直觉。换句话说，初等数学的直觉存在矛盾，我们需要一个更加严格的有关极限的定义和表示，尤其需要建立一种可以称之为相等的映射关系。

2 极限语言初学数学分析的时候，很多人包括我在内，都对 ε ? N深恶痛绝，更妙的是，不理解这种表达方式，对做题似乎影响不大。大部分人通过加深对上面的那三个约定（以及更多约定）的记忆来完成解题，从而避免了加深对数学对象的理解。
其实这个语句并不难理解，当我们最开始接触无穷大这个概念的时候，是在描述自然数的个数。那时我们常说的可能是，无论你举出一个多么大的自然数，我都能举出一个更大的数，所以自然数是无穷的。

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> x = c(10:100)> y = 1-x*sin(1/x)> > plot(x,y,type='l',xlab='x',ylab='y=1-x·sin(1/x)')

其图像为

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3 序列与函数若从映射的角度去考察序列与函数，则二者最大的区别是定义域。序列是定义域为正整数的特殊函数。相比之下，微积分中大多名之为函数的映射，都定义在实数域上。从而在函数的定义域中，随便抽选出一个区间，其元素个数都是无穷多的。即对于区间 [ a , b ]而言，只要 a =? b ，则区间中的元素个数就是无穷多个。
好在我们有了极限的概念，极限在 ε ? N意义上重新定义了相等，从而意味着每一个实数都包含了无穷多种初等的表示，即 1 = 0.999...0 = 0.999...1 = 0.999... n , n 1=0.999...0=0.999...1=0.999...n,n为任意长度的数串，中间的无穷多位，导致末位信息在变得毫无意义，乃至于根本不存在最后一位。
这时我们会异想天开地希望建立整数与实数的对应关系，例如将整数环映射到区间 [ ? 1 , 1 ] 内，这个区间也会出现实数区间的性质，即任意一个长度大于一的子区间，存在无穷多个元素。但众所周知，实数的个数是比整数更高的无穷，也就是说实数区间 [ ? 1 , 1 ] 的元素个数是远多于整数的。