数值计算|最小二乘法拟合圆数值计算|图像处理

有一系列的数据点{ x i , y i } \{x_i, y_i\} {xi?,yi?}，我们知道这些数据点近似的落在一个圆上，根据这些数据估计这个圆的参数就是一个很有意义的问题。今天就来讲讲如何来做圆的拟合。圆拟合的方法有很多种，最小二乘法属于比较简单的一种。今天就先将这种。
我们知道圆方程可以写为：
( x ? x c ) 2 + ( y ? y c ) 2 = R 2 (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2 (x?xc?)2+(y?yc?)2=R2
通常的最小二乘拟合要求距离的平方和最小。也就是
f = ∑ ( ( x i ? x c ) 2 + ( y i ? y c ) 2 ? R ) 2 f =\sum \left (\sqrt{(x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2} - R\right )^2 f=∑((xi??xc?)2+(yi??yc?)2 ??R)2
最小。这个算起来会很麻烦。也得不到解析解。所以我们退而求其次。
f = ∑ ( ( x i ? x c ) 2 + ( y i ? y c ) 2 ? R 2 ) 2 f = \sum \left((x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2 - R^2\right )^2 f=∑((xi??xc?)2+(yi??yc?)2?R2)2
这个式子要简单的多。我们定义一个辅助函数：
【数值计算|最小二乘法拟合圆】 g ( x , y ) = ( x ? x c ) 2 + ( y ? y c ) 2 ? R 2 g(x, y) = (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 - R^2 g(x,y)=(x?xc?)2+(y?yc?)2?R2
那么上面的式子可以表示为：
f = ∑ g ( x i , y i ) 2 f = \sum g(x_i, y_i)^2 f=∑g(xi?,yi?)2
按照最小二乘法的通常的步骤，可知 f f f 取极值时对应下面的条件。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{?a?l?i?g?n?}? \frac{\partial…
先来化简? f ? R = 0 \frac{\partial f}{\partial R} = 0 ?R?f?=0
KaTeX parse error: No such environment: split at position 8: \begin{?s?p?l?i?t?}? \frac{\partial…
我们知道半径R R R 是不能为 0 的。所以必然有：
∑ g ( x i , y i ) = 0 \sum g(x_i, y_i)= 0 ∑g(xi?,yi?)=0
这是个非常有用的结论。剩下的两个式子：
KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{?g?a?t?h?e?r?}? \begin{split} …
也就是下面两个等式：
KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{?g?a?t?h?e?r?}? \sum x_i g(x_i…
这里设：
u i = x i ? x ˉ u c = x c ? x ˉ v i = y i ? y ˉ v c = y c ? y ˉ u_i = x_i - \bar x\\ u_c = x_c - \bar x\\ v_i = y_i - \bar y\\ v_c = y_c - \bar y ui?=xi??xˉuc?=xc??xˉvi?=yi??yˉ?vc?=yc??yˉ?
其中：
x ˉ = ∑ x i / N y ˉ = ∑ y i / N \bar x = \sum x_i / N\\ \bar y = \sum y_i /N xˉ=∑xi?/Nyˉ?=∑yi?/N
那么简单的推导一下，就会发现：
KaTeX parse error: No such environment: gather at position 8: \begin{?g?a?t?h?e?r?}? \sum u_i g(u_i…
其实都不需要推导，这个变量替换只不过是修改了坐标原点的位置。而我们的等式根本就与坐标原点的具体位置无关。所以必然成立。
这两个式子展开写是这样的：
∑ ( ( u i ? u c ) 2 + ( v i ? v c ) 2 ? R 2 ) u i = 0 ∑ ( ( u i ? u c ) 2 + ( v i ? v c ) 2 ? R 2 ) v i = 0 \sum \left({(u_i - u_c)^2 + (v_i - v_c)^2} - R^2\right) u_i = 0\\ \sum \left({(u_i - u_c)^2 + (v_i - v_c)^2} - R^2\right) v_i = 0 ∑((ui??uc?)2+(vi??vc?)2?R2)ui?=0∑((ui??uc?)2+(vi??vc?)2?R2)vi?=0
进一步展开：
∑ ( u i 3 ? 2 u i 2 u c + u i u c 2 + u i v i 2 ? 2 u i v i v c + u i v c 2 ? u i R 2 ) = 0 ∑ ( u i 2 v i ? 2 u i v i u c + v i u c 2 + v i 3 ? 2 v i 2 v c + v i v c 2 ? v i R 2 ) = 0 \sum \left({u_i ^3 - 2 u_i^2 u_c + u_i u_c ^2 + u_i v_i^2 - 2 u_i v_i v_c + u_i v_c^2} - u_i R^2 \right) = 0\\ \sum \left({u_i ^2 v_i - 2 u_i v_i u_c + v_i u_c ^2 + v_i^3 - 2 v_i^2 v_c + v_i v_c^2} - v_i R^2 \right) = 0 ∑(ui3??2ui2?uc?+ui?uc2?+ui?vi2??2ui?vi?vc?+ui?vc2??ui?R2)=0∑(ui2?vi??2ui?vi?uc?+vi?uc2?+vi3??2vi2?vc?+vi?vc2??vi?R2)=0
我们知道 $ \sum u_i = 0$,∑ v i = 0 \sum v_i = 0 ∑vi?=0。所以上面两个式子是可以化简的。
∑ ( u i 3 ? 2 u i 2 u c + u i v i 2 ? 2 u i v i v c ) = 0 ∑ ( u i 2 v i ? 2 u i v i u c + v i 3 ? 2 v i 2 v c ) = 0 \sum \left({u_i ^3 - 2 u_i^2 u_c + u_i v_i^2 - 2 u_i v_i v_c} \right) = 0\\ \sum \left({u_i ^2 v_i - 2 u_i v_i u_c + v_i^3 - 2 v_i^2 v_c} \right) = 0 ∑(ui3??2ui2?uc?+ui?vi2??2ui?vi?vc?)=0∑(ui2?vi??2ui?vi?uc?+vi3??2vi2?vc?)=0
为了简化式子，我们定义几个参数：
S u u u = ∑ u i 3 S v v v = ∑ v i 3 S u u = ∑ u i 2 S v v = ∑ v i 2 S u v = ∑ u i v i S u u v = ∑ u i 2 v i S u v v = ∑ u i v i 2 S_{uuu} = \sum {u_i ^3} \\ S_{vvv} = \sum {v_i ^3} \\ S_{uu} = \sum {u_i ^2} \\ S_{vv} = \sum {v_i ^2} \\ S_{uv} = \sum {u_i v_i} \\ S_{uuv} = \sum {u_i^2 v_i} \\ S_{uvv} = \sum {u_i v_i ^2} Suuu?=∑ui3?Svvv?=∑vi3?Suu?=∑ui2?Svv?=∑vi2?Suv?=∑ui?vi?Suuv?=∑ui2?vi?Suvv?=∑ui?vi2?
那么上面的式子可以写为：
S u u u c + S u v v c = S u u u + S u v v 2 S u v u c + S v v v c = S u u v + S v v v 2 S_{uu} u_c + S_{uv}v_c = \frac{S_{uuu} +S_{uvv}}{2} \\ S_{uv} u_c + S_{vv} v_c =\frac{S_{uuv} + S_{vvv}} {2} Suu?uc?+Suv?vc?=2Suuu?+Suvv??Suv?uc?+Svv?vc?=2Suuv?+Svvv??
至此，就可以解出 u c u_c uc? 和 v c v_c vc? 了。
u c = S u u v S u v ? S u u u S v v ? S u v v S v v + S u v S v v v 2 ( S u v 2 ? S u u S v v ) v c = ? S u u S u u v + S u u u S u v + S u v S u v v ? S u u S v v v 2 ( S u v 2 ? S u u S v v ) u_c = \frac{S_{uuv} S_{uv} - S_{uuu} S_{vv} - S_{uvv} S_{vv} + S_{uv} S_{vvv}}{2 (S_{uv}^2 - S_{uu} S_{vv})} \\ v_c = \frac{-S_{uu} S_{uuv} + S_{uuu} S_{uv} + S_{uv} S_{uvv} - S_{uu} S_{vvv}} {2 (S_{uv}^2 - S_{uu} S_{vv})} uc?=2(Suv2??Suu?Svv?)Suuv?Suv??Suuu?Svv??Suvv?Svv?+Suv?Svvv??vc?=2(Suv2??Suu?Svv?)?Suu?Suuv?+Suuu?Suv?+Suv?Suvv??Suu?Svvv??
那么：
x c = u c + x ˉ y c = v c + y ˉ x_c = u_c + \bar x\\ y_c = v_c + \bar y xc?=uc?+xˉyc?=vc?+yˉ?
还剩下个R R R 没求出来，也很简单。
∑ g ( x i , y i ) = 0 ∑ ( ( x i ? x c ) 2 + ( y i ? y c ) 2 ? R 2 ) = 0 \sum g(x_i, y_i) = 0 \\ \sum \left((x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2 - R^2\right) = 0 ∑g(xi?,yi?)=0∑((xi??xc?)2+(yi??yc?)2?R2)=0
所以：
R 2 = ∑ ( ( x i ? x c ) 2 + ( y i ? y c ) 2 ) / N R^2 = \sum {\left((x_i - x_c)^2 + (y_i - y_c)^2\right)} / N R2=∑((xi??xc?)2+(yi??yc?)2)/N
好了。下面给出个代码，这个代码的具体公式和我这里给出的有一点小差异，但是原理是相同的。

/** * 最小二乘法拟合圆 * 拟合出的圆以圆心坐标和半径的形式表示 * 此代码改编自 newsmth.net 的 jingxing 在 Graphics 版贴出的代码。 * 版权归 jingxing，我只是搬运工外加一些简单的修改工作。 */ typedef complex POINT; bool circleLeastFit(const std::vector &points, double ¢er_x, double ¢er_y, double &radius) { center_x = 0.0f; center_y = 0.0f; radius = 0.0f; if (points.size() < 3) { return false; }double sum_x = 0.0f, sum_y = 0.0f; double sum_x2 = 0.0f, sum_y2 = 0.0f; double sum_x3 = 0.0f, sum_y3 = 0.0f; double sum_xy = 0.0f, sum_x1y2 = 0.0f, sum_x2y1 = 0.0f; int N = points.size(); for (int i = 0; i < N; i++) { double x = points[i].real(); double y = points[i].imag(); double x2 = x * x; double y2 = y * y; sum_x += x; sum_y += y; sum_x2 += x2; sum_y2 += y2; sum_x3 += x2 * x; sum_y3 += y2 * y; sum_xy += x * y; sum_x1y2 += x * y2; sum_x2y1 += x2 * y; }double C, D, E, G, H; double a, b, c; C = N * sum_x2 - sum_x * sum_x; D = N * sum_xy - sum_x * sum_y; E = N * sum_x3 + N * sum_x1y2 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_x; G = N * sum_y2 - sum_y * sum_y; H = N * sum_x2y1 + N * sum_y3 - (sum_x2 + sum_y2) * sum_y; a = (H * D - E * G) / (C * G - D * D); b = (H * C - E * D) / (D * D - G * C); c = -(a * sum_x + b * sum_y + sum_x2 + sum_y2) / N; center_x = a / (-2); center_y = b / (-2); radius = sqrt(a * a + b * b - 4 * c) / 2; return true; }

下图是个实际测试的结果。对这种均匀分布的噪声数据计算的结果还是很准确的。